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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 推理与证明 第一章 第一章 章末归纳总结 一 推理推理的分类 过程和作用如下 二 数学问题的证明1 综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法 应用综合法证明问题时 必须首先想到从哪里开始起步 分析法就可以帮助我们克服这种困难 在实际证明问题时 应当把分析法和综合法综合起来使用 转换解题思路 增加解题途径 用P表示已知条件及已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则分析法可用框图表示为 2 反证法反证法是一种间接证法 它是先提出一个与命题的结论相反的假设 然后 从这个假设出发 经过正确的推理 导致矛
2、盾 从而否定与结论相反的假设 达到肯定原命题正确的一种方法 反证法可以分为归谬反证法 结论的反面只有一种 与穷举反证法 结论的反面不只一种 用反证法证明一个命题的步骤 大体上分为 1 反设 2 归谬 3 存真 3 数学归纳法数学归纳法是逻辑推理 它的第一步称为奠基步骤 是论证的基础保证 即通过验证落实传递的起点 这个基础必须真实可靠 它的第二步称为递推步骤 是命题具有后继传递性的保证 两步合在一起为完全归纳步骤 这两步缺一不可 第二步中证明 当n k 1时结论正确 的过程中 必须用 归纳假设 否则就是错误的 将全体正整数排成一个三角形数阵 123456789101112131415 根据以上排
3、列规律 数阵中第n n 3 行的从左至右的第3个数为 归纳推理 1 对于问题 已知关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为 1 2 解关于x的不等式ax2 bx c 0 给出如下一种解法 类比推理 答案 3 1 1 2 点评 在平时学习中 常以一两个对象为中心 把它们的特征中有类比关系的特征归纳整理成图表 思维过程一般为 具体问题 类比推理 联想 形成一般命题 结论猜想 证明预见 对于定义域为 0 1 的函数f x 如果同时满足 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 1
4、若函数f x 为理想函数 证明 f 0 0 2 试判断函数f x 2x x 0 1 f x x2 x 0 1 f x x 0 1 是否是理想函数 用综合法证明 点评 用综合法证明问题的特点是从已知条件出发 逐步推向结论 综合法的适用范围 1 定义明确的问题 如证明函数的单调性 奇偶性 求证无条件的等式或不等式 2 已知条件明确 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 在使用综合法证明时 易出现的错误是因果关系不明确 逻辑表达混乱 用分析法证明 点评 本题主要考查了三角函数与不等式证明的综合应用 题目中的条件与结论之间的关系不明显 因此可以用分析法挖掘题目中的隐含条件 在证明过程中注意分析
5、法的格式与步骤 对于与三角函数有关的证明题 在证明过程中注意角的取值范围及三角恒等变形公式的灵活应用 求证 抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形 反证法 假设四边形ABCD是平行四边形 则kAB kCD kBC kDA 从而得y1 y3 y2 y4 进而得x1 x3 x3 x4 于是点A C重合 点B D重合 这与假设A B C D是抛物线上不同的四点相矛盾 故四边形ABCD不可能是平行四边形 点评 当结论为否定形式的命题时 常常借助于反证法进行证明 如将 不可能是平行四边形 假设为 能成为平行四边形 然后利用已知条件和假设结论进行演绎推理 推出的结果同已知条件或已成立的事实矛盾
6、从而得出 假设不成立 的结论 已知 ABC的三边长都是有理数 1 求证 cosA是有理数 2 对任意正整数n 求证 cosnA是有理数 分析 本题主要考查余弦定理 数学归纳法等基础知识 考查推理论证的能力与分析问题 解决问题的能力 数学归纳法 假设当n k k 1 时 coskA和sinA sinkA都是有理数 当n k 1时 由cos k 1 A cosA coskA sinA sinkA sinA sin k 1 A sinA sinA coskA cosA sinkA sinA sinA coskA sinA sinkA cosA 由 和归纳假设 知cos k 1 A与sinA sin
7、k 1 A 都是有理数 即当n k 1时 结论成立 综合 可知 对任意正整数n cosnA是有理数 一 填空题1 依次写出数列a1 1 a2 a3 an n N 的法则如下 如果an 2为自然数且未写过 则写an 1 an 2 否则就写an 1 an 3 则a6 A 4B 5C 6D 7 答案 C 解析 根据题中法则 依次逐个代入 得a2 4 a3 2 a4 0 a5 3 a6 6 答案 C 3 2014 东北三校模拟 下列代数式 其中k N 能被9整除的是 A 6 6 7kB 2 7k 1C 2 2 7k 1 D 3 2 7k 答案 D 解析 1 当k 1时 显然只有3 2 7k 能被9整除 2 假设当k n n N 时 命题成立 即3 2 7n 能被9整除 那么3 2 7n 1 21 2 7n 36 3 2 7n 能被9整除 36能被9整除 21 2 7n 36能被9整除 这就是说 k n 1时命题也成立 由 1 2 可知 命题对任何k N 都成立 答案 am n bm n ambn anbm a b 0 a b m n 0 答案 41 点评 这类问题是由n 1 n 2两种特殊情况求出a b的值 即由不完全归纳法得出结论 对所有的正整数是否成立 还需要用数学归纳法加以证明
