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1、数列通项公式的常见求法学案一、 观察归纳法：观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。例1 写出下列各数列的一个通项公式。21,203,2005,20007，；0.2,0.22,0.222,0.2222，； 1,0,1,0，；二、 公式法 ： 等差数列通项公式；等比数列通项公式例2等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.解：设数列公差为成等比数列，即， 由得：，练一练：1.已知等差数列的公差大于,且是方程的两根,数列 的前项和为,且.求数列,的通项公式； 三、累加法：若求，f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、
2、指数函数、分式函数形式的函数。（1） 若f(n)是常数，则为等差数列，利用等差数列通项公式即可；若f(n)是关于n的一次函数，累加后转化为等差数列求和。例3 已知的首项，（）求通项公式。解： 练习：已知数列满足，则=_ ；（2） 若f(n)是二次函数形式，累加后利用分组求和。例4 已知数列满足求 （补充：）（3） 若f(n)是含指数函数形式，累加后转化等比数列求和。例5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以练习：已知中，求。（4）若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例6 在数列中，练习：已知数列满足，求此数列的通项公式.四 累乘法 。 -适用于： 的形式，其中f(1)f(
3、2)f(3)f(n)的值可求。例7，练习：1、2、（提高）数列各项均为正数，且五、构造法（1）形如的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为A的等比数列后，再求。（i）若A=1时，数列为等差数列；若B=0时，数列为等比数列;（ii）时方法：令，则，则为公比等于A的等比数列，利用公式求解。例8 已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.练习1 已知，求； (2) 形如： (其中q是常数，且n0,1) 若p=1时，即：，累加即可.若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即： ,令，则
4、,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： ,令,则可化为.然后转化为类型(1)来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略练习：1、已知中，扩展视野：（3）形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，
5、数列为等比数列。例 10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，若,且满足,求.答案： .六、倒数法 形如的递推数列都可以用倒数法求通项。分子只有一项例11：解：取倒数：是等差数列，练一练：1.已知数列中，a，a，a（nN）求a七、阶差法（逐项相减法） 递推公式中既有，又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例12已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解：由当时，有，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并练一练： 1.数列满足，求；2、已知数列中, 且,求数列的通项公式. 教案
