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1、函数的单调性 习题课 复习准备 对于给定区间D上的函数f x 若对于D上的任意两个值x1 x2 当x1 f x2 则称f x 是D上的增 减 函数 区间D称为f x 的增 减 区间 1 函数单调性的定义是什么 复习准备 1 函数单调性的定义是什么 2 证明函数单调性的步骤是什么 证明函数单调性应该按下列步骤进行 第一步 取值第二步 作差变形第三步 定号第四步 判断下结论 复习准备 1 函数单调性的定义是什么 2 证明函数单调性的步骤是什么 3 现在已经学过的判断函数单调性有些什么方法 数值列表法 不常用 图象法 定义法 题型一 用定义证明函数的单调性 例1 判断函数f x x3 1在 0 上是
2、增函数还是减函数 并证明你的结论 如果x 0 函数f x 是增函数还是减函数 所以f x 在 0 上是减函数 证明函数单调性的问题 只需严格按照定义的步骤就可以了 题型二 图象法对单调性的判断 例2 指出下列函数的单调区间 例2 指出下列函数的单调区间 如果函数的图象比较好画 我们就画图象观察 图象法 利用图象法求单调区间的时候 应特别注意某些特殊点 尤其是图象发生急转弯的地方 用它们将定义域进行划分 再分别考察 题型二 图象法对单调性的判断 结论1 y f x f x 恒不为0 与的单调性相反 题型三 利用已知函数单调性判断 例3 判断函数 在 1 上的单调性 题型三 利用已知函数单调性进行
3、判断 例4 设f x 在定义域A上是减函数 试判断y 3 2f x 在A上的单调性 并说明理由 解 y 3 2f x 在A上是增函数 因为 任取x1 x2 A 且x1f x2 故 2f x1 2f x2 所以3 2f x1 3 2f x2 即有y1 y2 由定义可知 y 3 2f x 在A上为增函数 结论2 y f x 与y kf x 当k 0时 单调性相同 当k 0时 单调性相反 题型三 利用已知函数单调性进行判断 结论3 若f x 与g x 在R上是增函数 则f x g x 也是增函数 结论4 若f x 在R上是增函数 g x 在R上是减函数 则f x g x 也是增函数 结论5 若f x
4、 其中f x 0 在某个区间上为增函数 则也是增函数 结论6 复合函数f g x 由f x 和g x 的单调性共同决定 它们之间有如下关系 题型三 利用已知函数单调性进行判断 练习 求函数 的单调区间 答案 3 单减区间 2 单增区间 注意 求单调区间时 一定要先看定义域 题型四 函数单调性解题应用 例1 已知函数y x2 2ax a2 1在 1 上是减函数 求a的取值范围 解此类由二次函数单调性求参数范围的题 最好将二次函数的图象画出来 通过图象进行分析 可以将抽象的问题形象化 练习 如果f x x2 a 1 x 5在区间 0 5 1 上是增函数 那么f 2 的取值范围是什么 答案 7 题型
5、四 利用函数单调性解题 例2 已知x 0 1 则函数的最大值为 最小值为 利用函数的单调性求函数的值域 这是求函数值域和最值的又一种方法 题型四 利用函数单调性解题 例3 已知 f x 是定义在 1 1 上的增函数 且f x 1 f x2 1 求x的取值范围 注 在利用函数的单调性解不等式的时候 一定要注意定义域的限制 保证实施的是等价转化 题型四 利用函数单调性解题 例4 已知f x 在其定义域R 上为增函数 f 2 1 f xy f x f y 解不等式f x f x 2 3 解此类题型关键在于充分利用题目所给的条件 本题就抓住这点想办法构造出f 8 3 这样就能用单调性解不等式了 题型五 复合函数单调区间的求法 例1 设y f x 的单增区间是 2 6 求函数y f 2 x 的单调区间 小结 1 怎样用定义证明函数的单调性 2 判断函数的单调性有哪些方法 3 与单调性有关的题型大致有哪些 取值 作差 变形 定号 下结论 小结 1 怎样用定义证明函数的单调性 2 判断函数的单调性有哪些方法 3 与单调性有关的题型大致有哪些 小结 1 怎样用定义证明函数的单调性 2 判断函数的单调性有哪些方法 3 与单调性有关的题型大致有哪些
