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1、一 选择题 每小题5分 共60分 1 设f x x2是集合A到集合B的映射 如果B 1 2 则A B等于 A 1 B C 或 1 D 或 2 解析由已知可得集合A是集合 1 1 的非空子集 则A B 或 1 高考冲刺模拟 C 2 已知函数f x x a x b 其中a b 若f x 的图象如图所示 则函数g x ax b的图象大致为 解析由图形知0 a 1 b 1 容易判断选项B C D是错误的 A 3 函数f x 3sin x 20 5sin x 80 的最大值为 A 6B C 7D 8解析因为f x 3sin x 20 5sin x 80 令t x 20 原式可化为 g t 3sint 5
2、sin t 60 所以 g t max 7 即 f x max 7 C 4 函数f x log3x的定义域为M 1 9 若函数g x f x 2 f x2 的定义域为N 则下面四个命题 M N M N M N N M N N中 真命题的个数为 A 1B 2C 3D 4解析由题意可知 g x f x 2 f x2 的定义域为即N 1 3 又M 1 9 所以N M 即M N N A 5 若函数f x x3 f 1 x2 f 2 x 3 则f x 在点 0 f 0 处切线的倾斜角为 A B C D 解析由题意可知f x x2 f 1 x f 2 令x 0 得f 0 f 2 令x 1 得f 2 1 所
3、以f 0 1 即 D 6 直角坐标系xOy中 i j分别是与x y轴正方向同向的单位向量 在直角三角形ABC中 若 2i j 3i kj 则k的可能值个数是 A 1B 2C 3D 4解析 2i j 3i kj i k 1 j 1 若A为直角 则 2i j 3i kj 6 k 0 k 6 2 若B为直角 则 2i j i k 1 j 1 k 0k 1 3 若C为直角 则 3i kj i k 1 j k2 k 3 0 k 所以k的可能值个数是2 答案B7 已知 n N 则数列 an 的最小值为 A 6B 7C 8D 解析设有1 t 3 则用导数可以证明 函数在1 t 3上是递减的 所以当t 3时
4、an取最小值 D 8 在正四面体S ABC中 E为SA的中点 F为 ABC的中心 则异面直线EF与AB所成的角是 A 30 B 45 C 60 D 90 解析过F作FM AB交AC于点M 连接EM EF SF AF 则 EFM是异面直线AB EF所成的角或其补角 因为点F是底面的中心 AF平分 BAC 又FM AB AM FM SF 面ABC SF AF E是SA的中点 AE FE 又EM为公共边 MAE MFE MAE MFE EFM 60 C 9 从编号为1 2 10的10个大小相同的球中任取4个 则所取4个球的最大号码是6的概率为 A B C D 解析从10个球中任选4个共有种取法 所取
5、4个球中最大号码是6的取法共有种 所求概率为 B 10 已知实数x y满足则的取值范围是 A B C D 解析若设P x y A 1 2 B 4 6 由题意可知 PA PB 5 而 AB 5 即 PA PB AB 因此点P在线段AB的延长线上 而表示点Q 4 2 与点P x y 连线的斜率kPQ 由于kQB kAB 由图象可知 B 11 已知函数f x x R 其图象如图所示 则实数a b之间的数量关系为 A a 2bB a 2bC 2a bD 2a b解析由题意结合图象可知a 0 b 0 所以在x 处 函数f x 取到最大值 有图象可知x 1 所以0 a 1 2a D 12 已知定义在R上的
6、函数f x 满足 f 0 0 f x f 1 x 1 且当0 x1 x2 1时 总有f x1 f x2 成立 则等于 A B C D 解析由f 0 0 f x f 1 x 1 令x 0得f 1 1 C 二 填空题 每小题4分 共16分 13 已知a为直线x 2y 1 0的一个方向向量 b 2 k 且a b 则使不等式恒成立的实数m的取值范围为 解析由题意知 向量a 1 又b 2 k 且a b 所以即k 4 则 x 4 x 6 m2 3m 2 由绝对值 x 4 x 6 的几何意义可知 x 4 x 6 2 所以2 m2 3m 2 即 1 m 4 1 4 14 M是抛物线C x2 4y上与原点O不重
7、合的任意一点 F为焦点 过点M的抛物线C的切线l与x轴交于点N 则 解析由题意可知 0 15 若表示一种运算 且有如下表示 11 2 mn k m 1 n k 1 m n 1 k 2 则20092009 解析由m n 1 mn k 2 k 2 可得数列 1n 是以11 2为首项 2为公差的等差数列 所以12009 2 2009 1 2 4018 又 m 1 n mn 1 取n 2009 则数列 m2009 是以12009 4018为首项 1为公差的等差数列 所以20092009 4018 2009 1 1 2010 2010 16 已知下列命题 函数f x 的定义域为 a b 若f a f b
8、 0 则函数f x 在区间 a b 上至少有一个零点 函数f x 是定义域在 a b 的增函数 若f a f b 0 则函数f x 在区间 a b 上至多有一零点 函数f x 在定义域 a b 上存在导数 则f x 0是函数f x 在区间 a b 上递增的充要条件 函数f x 的定义域为R且在x0处取到最大值 则对于任意的实数x x0都有f x f x0 其中真命题的序号为 解析若函数f x 是分段函数 则易知 错误 正确 若f x x3 x 即函数是增函数 则f x 3x2 1 0 所以 错误 若f x sinx 则 不正确 答案 三 解答题 共74分 17 12分 设锐角三角形ABC的内角
9、A B C的对边分别为a b c a 2bsinA 1 求B的大小 2 求cosA sinC的取值范围 解 1 由a 2bsinA 根据正弦定理得sinA 2sinBsinA 所以sinB 由 ABC为锐角三角形得B 2 因为cosA sinC cosA 由 ABC为锐角三角形知 0 A A B 所以 cosA sinC的取值范围为 18 12分 一个盒子装有六张卡片 上面分别写着如下六个定义域为R的函数 f1 x x f2 x x2 f3 x x3 f4 x sinx f5 x cosx f6 x 2 1 现从盒子中任取两张卡片 将卡片上的函数相加得一个新函数 求所得函数是奇函数的概率 2
10、现从盒子中逐一抽取卡片 且每次取出后均不放回 若取到一张函数是偶函数的卡片则停止抽取 否则继续进行 求抽取次数的分布列和数学期望 解 1 记事件A为 任取两张卡片 将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数 由题意知 2 可取1 2 3 4 故的分布列为 答的数学期望为 19 12分 已知如图点B在以AC为直径的圆上 SA 面ABC 连AB BC SC 作AE SB于E AF SC于F 连EF 1 证明 SC EF 2 若SA a ASC 且二面角A SC B的大小为求当为何值时 三棱锥S AEF的体积VS AEF最大 并求出最大值 1 证明方法一因为点B在以AC为直径的圆上 AB BC 又SA 面
11、ABC BC SA 且SA AB A BC 面SAB 又AE 面SAB BC AE AE SB 且BC SB B AE 面SBC 又SC 面SBC AE SC AF SC 且AE AF A SC 面AEF 又EF 面AEF SC EF 方法二建立空间直角坐标系如图所示 设 ASB BAC SA a 因为点B在以AC为直径的圆上 AB BC 又 SA 面ABC SA AB 又 AE SB EAB 又因为点B在以AC为直径的圆上 AB BC SC EF 2 解因为SA a ASC AF SC于F SF AF 由 1 可知 AE 面SBC AE EF AEF是直角三角形 又SC 面AEF AFE是二
12、面角A SC B的平面角 所以三棱锥S AEF的体积的最大值是即二面角A SC B为时 三棱锥S AEF的体积最大且最大值为 20 12分 已知数列 an 中 a1 a a 2 对于n N an 0 2 求证 2 an a 2 求证 a1 a2 an 2 n a 2 证明 1 因为 0 所以an 1 所以an 2 若an 2 则an 1 2 即 an 是常数列an 2与a1 a 2矛盾 故an 2 所以an 2 又an 1 an 0 所以an 1 an 即数列 an 是递减数列 又an a1 n 2 所以2 an a 2 因为所以a1 a2 an 21 12分 过点P 2 2 作倾斜角互补的两
13、条直线分别交抛物线y 6 x2于A B两点 1 求直线AB的斜率 2 若点P在直线AB的右侧 当三角形PAB的面积最大时 求直线AB的方程 解 1 因为6 22 2 所以点P 2 2 在抛物线y 6 x2上 由题意可设直线PA的方程为lPA y k x 2 2 k 0 则直线PB的方程为lPB y k x 2 2 由知 x2 kx 2k 4 0 所以xP xA 2k 4 即xA k 2 所以yA k2 4k 2 则A k 2 k2 4k 2 用 k 替换 k 可得 B k 2 k2 4k 2 2 由题意可设lAB y 4x m 由知 x2 4x m 6 0 则 42 4 m 6 4 10 m
14、0 所以m 10 又因为点P在直线AB的右侧 所以4 2 2 m 0 即m 6 综上可知 m 6 10 点P 2 2 到直线AB的距离此时 m 6 20 2m 即m 6 10 所以lAB y 4x 即lAB 12x 3y 14 0 22 14分 设函数f x x4 ax3 2x2 b x R 其中a b R 1 当a 时 讨论函数f x 的单调性 2 若函数f x 仅在x 0处有极值 求a的取值范围 3 若对于任意的a 2 2 不等式f x 1在 1 1 上恒成立 求b的取值范围 解 1 f x 4x3 3ax2 4x x 4x2 3ax 4 当a 时 f x x 4x2 10 x 4 2x
15、2x 1 x 2 令f x 0 解得x1 0 x2 x3 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 0 2 内是增函数 在 0 2 内是减函数 2 f x x 4x2 3ax 4 显然x 0不是方程4x2 3ax 4 0的根 为使f x 仅在x 0处有极值 必须4x2 3ax 4 0恒成立 即有 9a2 64 0 解此不等式 得这时 f 0 b是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是 3 由条件a 2 2 可知 9a2 64 0 从而4x2 3ax 4 0恒成立 当x 0时 f x 0 当x 0时 f x 0 因此函数f x 在 1 1 上的最大值是f 1 与f 1 两者中的较大者 为使对任意的a 2 2 不等式f x 1在 1 1 上恒成立 当且仅当即在a 上恒成立 所以b 4 因此满足条件的b的取值范围是 4 返回
