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1、教学目标 使学生掌握一些较复杂的函数的反函数的求法及其应用 重点难点 较复杂的函数的反函数的求法及其应用 复习提问 反函数的定义是什么 互为反函数的两个函数有什么关系 求下列函数的反函数 例题分析 求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值域对反函数的限制 例1 例2已知f x x2 2x x 2 求f 1 x 例题分析 解 令y x2 2x 解此关于x的方程得 x 2 x 2 y x2 2x 0 f 1 x 1 x 0 x R 说明 二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x 也可以用配方法求x 但开方时必须注意原来函数的定义域 一 求已知函数的反函数题型 例3求函数y x 0 x 1
2、 的反函数 解 由原函数变形为 解得y 1或y 1 两边平方得 原函数的反函数是 x 1或x 1 说明 原函数的值域是借助于变形中的 式 0而得到的 对于一个比较复杂的函数 求它的值域时要注意题目中的现有条件 例题分析 一 求已知函数的反函数题型 例4设函数y f x 求它的反函数 分析 这里给出了分段函数 即在不同的x范围内有不同的表达式 因此 也应在不同的x范围内求其反函数 解 当x 0时 y x 其反函数仍是y x x 0 当x 0时 y x2 由y x2 x 0 得x 又y x2 x 0 的值域为y 0 y x2 x 0 的反函数是y x 0 由 可得f 1 x 例题分析 一 求已知函
3、数的反函数题型 说明 求分段函数的反函数 一般只需将各段分别看成独立的函数 分别进行求反函数 最后直接进行拼接就可以了 但是 必须注意到反函数的定义域要分别限制 例题分析 一 求已知函数的反函数题型 例5已知函数的反函数是 x R x 2 求a b c的值 略解 函数的反函数为 x 3 a 2 b 1 c 3 说明 此类题型一般都是利用函数相等 用比较系数法求系数 例题分析 一 求已知函数的反函数题型 例6已知f x 3x 2 求 f 1 f x 分析 关键是求f 1 x 然后再求复合函数f 1 f x 注意 它不是f f x 的反函数 解 f 1 x x R f 1 f x 思考 请再求一下
4、f f 1 x 是多少 结论 一般的 如果定义域为A 值域为C的函数f x 有反函数f 1 x 则有f 1 f x x x A f f 1 x x x C 例题分析 一 求已知函数的反函数题型 答案 2 例题分析 一 求已知函数的反函数题型 例7 分析 解 说明 注意理解符号与的反函数的区别 例题分析 一 求已知函数的反函数题型 例8若点A 1 2 既在函数f x 的图象上 又在f x 的反函数的图象上 求a b的值 分析 求a b 就要有两个关于a b的方程 如何寻求 解 由A 1 2 在f x 上 则有 由A 1 2 在其反函数图象上 可知A 2 1 也在函数f x 图象上 又有 解联立
5、的方程组得a 3 b 7 例题分析 二 原函数与反函数的图象关系问题 问题1 在平面直角坐标系中 点A x y 关于x轴的对称点A 点A x y 关于y轴的对称点A 点A x y 关于原点的对称点A 什么叫一个点P a b 关于一条直线对称 定理 函数y f x 的图象和它的反函数y f 1 x 的图象关于直线y x对称 说明 1 函数y f x 与y f 1 x 的图象关于直线y x对称 而不是函数y f x 与x f 1 y 的图象关于直线y x对称 2 函数y f x 和函数x f 1 y 的图象是同一个图象 例题分析 二 原函数与反函数的图象关系问题 例1 求函数y x2 x 0 的反
6、函数 并利用对称关系作出其反函数的图象 例题分析 二 原函数与反函数的图象关系问题 例2 若且y g x 的图象与y f x 的图象关于直线y x对称 求函数y g x 的表达式 并判断y g x 的奇偶性 解 由于y f x 与y g x 的图象关于直线y x对称 g x f 1 x 可见 g x 定义域为 1 1 不关于原点对称 所以y g x 是非奇非偶的函数 例题分析 二 原函数与反函数的图象关系问题 例3 已知函数y ax b与它的反函数是同一个函数 则 A a 1 b 0 B a 1 b 0 C a 1 b 0 D a 1 b 0或a 1 b R 答案 D你对了吗 知识积累 反函数
7、与原函数相同的函数称为自反函数 可见 原函数与其反函数的交点不一定都在直线y x上 例题分析 二 原函数与反函数的图象关系问题 练习 已知函数的图象关于y x对称 则m 提示 先求出反函数 然后用比较系数法求m的值 答案 m 1 结论 一般的 函数成为自反函数的条件是a d 例题分析 二 原函数与反函数的图象关系问题 例4 解决方法 画出函数的图象 由图象可见两个函数图象恰好有两个交点 且交点在y x上 因此有 例题分析 二 原函数与反函数的图象关系问题 小结 解决与反函数有关的题目的时候 一定要注意 反函数与原函数之间的联系 互为反函数的两个函数图象之间的对称关系 牢记与反函数有关的常用结论 熟练掌握求反函数的方法 注意原函数定义域的限制 以及由原函数的值域来定反函数的定义域
