《高一数学函数的单调性 苏教.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学函数的单调性 苏教.ppt（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的单调性 创设情境 引入新课建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系 自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题 例如水位的涨落随时间变化的规律 是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题 下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质 函数的单调性 下面是某一天温度的变化图象 1 在上午6时的气温约是多少 全天的最高 最低气温分别是多少 2 什么时刻气温是0度 3 在什么时段内 气温在0度以上 4 说出这一天的气温变化趋势 怎样用数学语言刻画这一特征 问题1 问题1 观察自己所作函数图象 并指出图象的变化的趋势 学生活动 自己作出下列函数的图象 1 问题2 你能明确说出 图象呈下降趋势 的意
2、思吗 在某一区间内 当x的增大时 函数值y反而减小 学生讨论 图象在该区间内呈下降趋势 问题3 你能明确说出 图象呈上升趋势 的意思吗 在某一区间内 当x的增大时 函数值y也增大 学生讨论 结论 图象在该区间内呈上升趋势 在某一区间内当x的增大时 函数值y反而减小 图象在该区间内呈下降趋势 在某一区间内当x的增大时 函数值y也增大 图象在该区间内呈上升趋势 函数的这种性质称为函数的单调性 X不断增大 f x 也不断增大 0 X Y X1 X2 f X1 f X2 Y X 0 X不断增大 f x 不断减小 X1 X2 f X2 f X1 函数f x 在给定区间上为增函数 如何用x与f x 来描述
3、上升的图象 如何用x与f x 来描述下降的图象 函数f x 在给定区间上为减函数 如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 增函数与减函数定义 建构数学 说明1 函数y f x 在区间D上是增函数或减函数 就称函数y f x 在区间D上具有单调性 D称为函数的单调区间 说明2 说函数的单调性必须指出所对应的单调区间 单调区间可能是定义域的一部分 如 y
4、 x2 也可能是全部定义域 如 y x3 一个函数在定义域内可以划分出若干个单调区间 不同的单调区间上可以表现出不同的单调性 增函数和减函数的定义中两个变量x1 x2 1 必须在同一单调区间上 2 必须是任意的 不能用定值代替 3 必须设定它们的大小关系后 比较y1 y2的大小才有意义 例 下图是定义在 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一单调区间上 y f x 是增函数还是减函数 解 y f x 的单调区间有 5 3 3 1 1 3 3 5 其中y f x 在 5 3 1 3 上 是减函数 在 3 1 3 5 上是增函数 数学应用 1 如图 已知
5、y f x 的图象 包括端点 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 函数是增函数还是减函数 作图是发现函数单调性的法之一 演练反馈 单调递增区间 单调递减区间 例1 证明函数f x 2x 1在区间 上是增函数 注意 我们在证明函数的单调性时 不能 以图代证 而是严格按照定义证明 回想一下 定义的本质是什么 本题怎样用定义来证明 证明 条件 论证结果 结论 例1 证明函数f x 2x 1在区间 上是增函数 证明函数单调性的步骤 第一步 取值 即任取区间内的两个值 且x1 x2 第二步 作差变形 将f x1 f x2 通过因式分解 配方 有理化等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 第
6、三步 定号 确定差的符号 适当的时候需要进行讨论 第四步 判断 根据定义作出结论 取值 作差变形 定号 判断 证明 设x1 x2 0 且x1 x2 则 减函数 例2 判断函数f x 1 x在区间 0 上是增函数还是减函数 并证明你的结论 f x 在定义域上是减函数吗 解 函数f x x2 1在 0 上是增函数 下面给予证明 设x1 x2 0 且x1 x2 函数f x x2 1在 0 上是增函数 例3 判断函数f x x2 1在区间 0 上是增函数还是减函数 并给予证明 演练反馈 2 求证 函数y 5x 3在R上为减函数 3 求证 函数f x x3 1在 上是减函数 能力提高题 证明 设x1 x
7、2 R且x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 则f x2 f x1 x23 1 x13 1 x13 x23 x1 x2 x12 x1x2 x22 f x1 f x2 f x x3 1在 上是减函数 小结 1 单调递增函数的定义 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 2 单调递减函数的定义 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 x1 x2 y1 y2 x2 x1 y1 y2 小结 作业 1 P37练习 1 2 5 6 思考题 结合图象说出函数的单调区间 以及在各个区间上是增函数还是减函数 你能给出相应的证明吗
