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1、角的问题 距离问题 平行问题 题问直垂 体积问题 题问体何几 角的问题 角的问题 预备知识 角的知识 正弦定理 S ABC bcsinA 余弦定理 A B C b c a cosA 直线与平面所成角 直线与平面所成角 平面与平面所成角 平面与平面所成角 异面直线所成的角 异面直线所成的角 空间的角 在正方体AC1中 求异面直线A1B和B1C所成的角 A1B和B1C所成的角为60 和A1B成角为60 的面对角线共有条 在正方体AC1中 求异面直线D1B和B1C所成的角 A B D C A1 B1 D1 C1 在正方体AC1中 M N分别是A1A和B1B的中点 求异面直线CM和D1N所成的角 M
2、N P A B C M N 空间四边形P ABC中 M N分别是PB AC的中点 PA BC 4 MN 3 求PA与BC所成的角 已知 两异面直线a b所成的角是50 P为空间中一定点 则过点P且与a b都成30 角的直线有条 a b P O 2 线面角 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 当直线与平面垂直时 直线与平面所成的角是90 当直线在平面内或与平面平行时 直线与平面所成的角是0 斜线与平面所成的角 0 90 直线与平面所成的角 0 90 异面直线所成的角 0 90 若斜线段AB的长度是它在平面 内的射影长的2倍 则AB与 所成的角为 60 最小角原
3、理 C 斜线与平面所成的角 是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 若直线l1与平面所成的角为60 则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角 最大的角为 90 60 O l1 若直线l1与平面所成的角为30 直线l2与l1所成的角为60 求直线l2与平面所成的角的范围 l1 如图 直线OA与平面 所成的角为 平面内一条直线OC与OA的射影OB所成的角为 设 AOC为 2 求证 cos 2 cos 1 cos 求直线与平面所成的角时 应注意的问题 1 先判断直线与平面的位置关系 2 当直线与平面斜交时 常采用以下步骤 作出或找出斜线上的点到平面的垂线 作出或找出斜线在平面上的射
4、影 求出斜线段 射影 垂线段的长度 解此直角三角形 求出所成角的相应函数值 例题 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B与平面A1B1CD所成的角 O S A C B O F E 如图 ACB 90 S为平面ABC外一点 SCA SCB 60 求SC与平面ACB所成的角 A B C D F E A D F D A C A1 B E 正方形ABCD边长为3 AE 2BE CF 2DF 沿EF将直角梯形AEFD折起 使点A 的射影点G落在边BC上 求A E与平面ABCD所成的角 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O为下底面AC的中心 求A1O与平面BB1D1D所成的角 O
5、O S A C B O F E 如图 SA SB SC是三条射线 BSC 60 SA上一点P到平面BSC的距离是3 P到SB SC的距离是5 求SA与平面BSC所成的角 P 正四面体P ABC中 求侧棱PA与底面ABC所成的角 P A B C D 二面角 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 A B C A M 已知 如图 ABC的顶点A在平面M上的射影为点A ABC的面积是S A
6、BC的面积是S 设二面角A BC A 为 求证 COS S S 在正方体AC1中 求二面角D1 AC D的大小 过正方形ABCD的顶点A引SA 底面ABCD 并使平面SBC SCD都与底面ABCD成45度角 求二面角B SC D的大小 E 在正方体AC1中 E F分别是AB AD的中点 求二面角C1 EF C的大小 E F A B D C A1 B1 D1 C1 H ABC中 AB BC SA 平面ABC DE垂直平分SC 又SA AB SB BC 求二面角E BD C的大小 S A B C E D 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小 E 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC PA 3
7、AC 4 PB PC BC 1 求二面角P BC A的大小 3 4 H 2 求二面角A PC B的大小 COS 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC PA 3 AC 4 PB PC BC 1 求二面角P BC A的大小 在正方体AC1中 E F分别是中点 求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 E F E F 在正方体AC1中 E F分别是中点 求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小 平行问题 平行问题 直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系 平面和平面的平行关系 直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行 线面位置关系 有无数个公共点 有且仅有一个公共点 没有公
8、共点 平行于同一平面的二直线的位置关系是 A 一定平行 B 平行或相交 C 相交 D 平行 相交 异面 D 1 点A是平面 外的一点 过A和平面 平行的直线有条 无数 2 点A是直线l外的一点 过A和直线l平行的平面有个 无数 3 过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有个 无数 4 过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有个 且仅有一 5 如果l1 l2 l1平行于平面 则l2平面 l1 或 6 如果两直线a b相交 a平行于平面 则b与平面 的位置关系是 a 相交或平行 过直线L外两点 作与直线L平行的平面 这样的平面 A 有无数个 C 只能作出一个 B 不能作出 D 以上都有可能 情况
9、一 A 有无数个 C 只能作出一个 B 不能作出 D 以上都有可能 过直线L外两点 作与直线L平行的平面 这样的平面 情况二 过直线L外两点 作与直线L平行的平面 这样的平面 A 有无数个 C 只能作出一个 B 不能作出 D 以上都有可能 D 情况三 线面平行的判定 1 定义 直线与平面没有公共点 2 定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 线面平行判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 已知 a b a b 求证 a a b 1 a b确定平面 b 2 假设a与 不平行 则a与 有公共点P 则P b 3 这与
10、已知a b矛盾 4 a 如图 空间四面体P ABC M N分别是面PCA和面PBC的重心 求证 MN 面BCA P MN EF MN 面BCA 线线平行 线面平行 如图 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB M N分别是对角线上的点 AM FN 求证 MN 面BCE A B C D E F M N MN GH MN 面BCE 线线平行 线面平行 A B C D E F M N AFN BNH AN NH FN BN AN NH AM MC MN CH MN 面BCE 如图 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB M N分别是对角线上的点 AM FN 求证 MN 面BC
11、E 在正方体AC1中 E为DD1的中点 求证 DB1 面A1C1E E DB1 EF DB1 面A1C1E 线线平行 线面平行 在正方体AC1中 O为平面ADD1A1的中心 求证 CO 面A1C1B B1 O 1 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面无公共点 2 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线 3 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 则这条直线与交线平行 已知 a a b 求证 a b b b a a b a b 如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行 则另一条直线与这个平面也平行 a b c 如果一条直
12、线和两个相交平面都平行 则这条直线与它们的交线平行 a l 已知 a a l 求证 a l a b A B O M N P 如图 a b是异面直线 O为AB的中点 过点O作平面 与两异面直线a b都平行MN交平面于点P 求证 MP PN 一 两个平面平行的判定方法 1 两个平面没有公共点 2 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 3 都垂直于同一条直线的两个平面 两个平面平行 二 两个平面平行的性质 4 一直线垂直于两个平行平面中的一个 则它也垂直于另一个平面 2 其中一个平面内的直线平行于另一个平面 3 两个平行平面同时和第三个平面相交 它们的交线平行 两个平面平行 5 夹在两个平行平
13、面间的平行线段相等 1 两个平面没有公共点 判断下列命题是否正确 1 平行于同一直线的两平面平行 2 垂直于同一直线的两平面平行 3 与同一直线成等角的两平面平行 4 垂直于同一平面的两平面平行 5 若 则平面 内任一直线a 例 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 面AB1D1 面BDC1 证明 B1D1 AB1 B1 面AB1D1 面BDC1 线 线 线 面 面 面 证法2 A1C BD BD BC1 B A1C 面BDC1 面AB1D1 面BDC1 变形1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G分别为A1D1 A1B1 A1A的中点 求证 面EFG 面BDC1
14、 变形2 若O为BD上的点求证 OC1 面EFG O 面 面 由上知面EFG 面BDC1 线 面 OC1 面EFG 证明 变形3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M N分别为A1B1 A1D1 B1C1 C1D1的中点 求证 面AEF 面BDMN 小结 线平行线 线平行面 面平行面 线面平行判定 线面平行性质 面面平行判定 面面平行性质 三种平行关系的转化 已知 四面体A BCD E F G分别为AB AC AD的中点 求证 面EFG 面BCD 练习 垂直问题 垂直问题 线面垂直的判定与性质 面面垂直的判定与性质 线面垂直的判定方法 1 定义 如果一条直线和一个平面内的任意
15、一条直线都垂直 则直线与平面垂直 2 判定定理1 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 3 判定定理2 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 则直线与平面垂直 线面垂直的性质 1 定义 如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 2 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 则这两条直线平行 填空 1 l m l m 2 n m m与n l m l n l 3 l m l m 4 l m l m 相交 P A B C 如图 AB是圆O的直径 C是异于A B的圆周上的任意一点 PA垂直于圆O所在的平面 1 BC 面PAC P A B C 2 若
16、AH PC 则AH 面PBC 如图 AB是圆O的直径 C是异于A B的圆周上的任意一点 PA垂直于圆O所在的平面 O 在正方体AC1中 O为下底面的中心 求证 AC 面D1B1BD O H 在正方体AC1中 O为下底面的中心 B1H D1O 求证 B1H 面D1AC 已知 l m 求证 l m m 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 如图 C为以AB为直径的圆周上一点 PA 面ABC 找出图中互相垂直的平面 PA 面ABC 面PAC 面ABC 面PAB 面ABC BC 面PAC 面PBC 面PAC 如果两个平面垂直 则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 求证 如果一个平面与另一个平面的垂线平行 则这两个平面互相垂直 求证 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 l 求证 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 l 四面体ABCD中 面ADC 面BCD 面ABD 面BCD 设DE是BC边上的高 求证 平面ADE 面ABC 面ADC 面BCD 面ABD 面BCD AD 面BCD AD
