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1、 1 3 2球的表面积与体积 学习目标 1 通过对球的体积和面积公式的推导 了解推导过程中所用的基本数学思想方法 分割 求和 化为准确和 2 能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题 3 能解决球的截面有关计算问题及球的 内接 与 外切 的几何体问题 柱体 锥体 台体的表面积 圆台 圆柱 圆锥 复习旧知 柱体 锥体 台体的体积 锥体 台体 柱体 复习旧知 R R 一个半径和高都等于R的圆柱 挖去一个以上底面为底面 下底面圆心为顶点的圆锥后 所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等 一 球的体积 R R R 二 球的表面积 R S球表 4 R2 例1圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证
2、 1 球的体积等于圆柱体积的 2 球的表面积等于圆柱的侧面积 例题讲解 2 证明 1 设球的半径为R 则圆柱的底面半径为R 高为2R R 例2 钢球直径是5cm 求它的体积 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球的内径约为4 5cm 由计算器算得 例3 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 例题讲解 变式2 把钢球放入一个正
3、方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸 用料最省时 球与正方体有什么位置关系 侧棱长为5cm 两个几何体相切 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切 球内切于正方体 变式3 把正方体的纸盒装入半径为4cm的球状木盒里 能否装得下 半径为4cm的木盒能装下的最大正方体与球盒有什么位置关系 球外接于正方体 两个几何体相接 一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上 例4 已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 解 如图 设球O半径为R 截面 O 的半径为r 例题讲解 例4 已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径
4、的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 例题讲解 变式4 正方体的内切球和外接球队体积比为 表面积之比为1 3 变式5 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面 它们的面积分别为49和400 求球的表面积 答案 2500 一个球的体积是100cm3 试计算它的表面积 取3 14 结果精确到1cm2 解 设球的半径为R 那么根据题意有 R 2 88 球的表面积S 4 R2 4 3 14 2 882 104 cm2 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋 如果冰淇淋融化了 会溢满杯子吗 解 由图可知 半球的半径为4 因此 如果冰淇淋融化了 会溢满杯子 8 2 有三个球 一球切于正方
5、体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 1 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的 倍 练习1 探究 若正方体的棱长为a 则 1 正方体的内切球的直径 2 正方体的外接球的直径 3 与正方体所有的棱相切的球的直径 7 将半径为1和2的两个铅球 熔成一个大铅球 那么这个大铅球的表面积是 6 若两球表面积之差为48 它们大圆周长之和为12 则两球的直径之差为 练习2 5 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为 2 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是4cm 这个球的体积为 cm3 8 3 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 1 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的 倍 练习一 课堂练习 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 练习二 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 课堂练习 了解球的体积 表面积推导的基本思路 分割 求近似和 化为标准和的方法 是一种重要的数学思想方法 极限思想 它是今后要学习的微积分部分 定积分 内容的一个应用 熟练掌握球的体积 表面积公式 课堂小结
