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1、3 1 3函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性 1 函数的奇偶性 思考 函数的奇偶性定义中 对于定义域D内任意一个x 都有 x D 那么奇偶函数的定义域有什么特征 提示 奇偶函数的定义域关于原点对称 2 奇偶函数的图像特征 1 函数是偶函数 图像关于y轴对称 2 函数是奇函数 图像关于原点对称 思考 1 如果奇函数在原点处有定义 则其图像有什么特征 提示 图像过原点 即f 0 0 2 有没有一个函数既是奇函数 又是偶函数 提示 有 如f x 0的图像为x轴 即关于y轴对称 又关于原点对称 因此既是奇函数 又是偶函数 素养小测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 奇函数的图像一定过原点 2 如果定义域
2、内存在x0 满足f x0 f x0 函数f x 是偶函数 3 若对于定义域内的任意一个x 都有f x f x 0 则函数f x 是奇函数 提示 1 不一定 如函数f x 2 不符合定义 必须对于定义域内的任意一个x都成立 3 若f x f x 0 则f x f x 2 下列图像表示的函数具有奇偶性的是 解析 选B B选项的图像关于y轴对称 是偶函数 其余选项都不具有奇偶性 3 若f x 为R上的奇函数 且f 2 3 则f 2 解析 因为f x 为R上的奇函数 所以f 2 f 2 3 答案 3 类型一函数奇偶性的判断 典例 1 函数f x 2x的图像关于 A y轴对称B 坐标原点对称C 直线y
3、x对称D 直线y x对称 2 判断下列函数的奇偶性 世纪金榜导学号 1 f x 2x 1 2x 1 2 f x 思维 引 1 先判断函数的奇偶性 再判断图像的对称性 2 根据函数奇偶性的定义判断 解析 1 选B 函数的定义域A x x 0 所以x A时 x A 且f x 2x f x 所以f x 为奇函数 故图像关于坐标原点对称 2 1 因为x R f x 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 f x 所以f x 是奇函数 2 方法一 作出函数图像如图 关于原点对称 所以函数是奇函数 方法二 当x 0时 f x 1 x2 此时 x0 f x 1 x 2 1 x2 所以f x f x 当x 0
4、时 f 0 f 0 0 综上 对x R 总有f x f x 所以f x 为R上的奇函数 内化 悟 函数具有奇偶性的前提是什么 提示 定义域关于原点对称 类题 通 判断函数奇偶性的两种方法 1 定义法 2 图像法 发散 拓 如果两个函数f x g x 具有奇偶性 且有共同的定义域 那么f x g x f x g x g x 0 有以下规律 偶 偶 偶 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 奇 奇 奇 偶 相除时类似于相乘的情况 延伸 练 设f x 是R上的任意函数 则下列叙述正确的是 A f x f x 是奇函数B f x f x 是奇函数C f x f x 是偶函数D f x f x 是偶函数 解析
5、 选D 当x R时 x R A中 设g x f x f x 则g x f x f x g x 为偶函数 B中 设g x f x f x 则g x f x f x 非奇非偶函数 C中 设g x f x f x 则g x f x f x g x 为奇函数 D中 设g x f x f x 则g x f x f x g x 所以f x f x 是偶函数 习练 破 判断下列函数的奇偶性 1 f x 2 f x x3 x 3 f x 解析 1 f x 的定义域是A 1 1 1 A 但1 A 所以f x 为非奇非偶函数 2 f x x3 x的定义域是R 当x R时 x R 且f x f x 所以f x 为奇
6、函数 3 函数的定义域为R 当x R时 x R 当x 0时 x0 f x x 1 f x 综上 对任意x R 都有f x f x 所以f x 为偶函数 加练 固 函数f x x2的图像关于 A y轴对称B 直线y x对称C 坐标原点对称D 直线y x对称 解析 选A f x 的定义域为 x x 0 又f x x 2 x2 f x 所以f x 是偶函数 所以其图像关于y轴对称 类型二奇偶函数图像的应用 典例 1 如图 给出了奇函数f x 的局部图像 那么f 1 等于 A 4B 2C 2D 4 2 设偶函数f x 的定义域为 5 5 且f 3 0 当x 0 5 时 f x 的图像如图所示 则不等式
7、xf x 0的解集是 世纪金榜导学号 思维 引 1 奇函数关于原点对称 点 1 f 1 的对称点为 1 f 1 2 利用偶函数的图像性质作出x 5 0 上的图像 分两种情况讨论求不等式的解集 解析 1 选B 由函数的图像可得f 1 2 又由函数为奇函数 则f 1 f 1 2 2 因为f x 为偶函数 且由图像可得在 0 3 上 f x 0 则在 5 3 上 f x 0 在 3 0 上 f x 0 xf x 0 所以 5 x 3或0 x 3 即不等式的解集为 5 3 0 3 答案 5 3 0 3 内化 悟 怎样作具有奇偶性的函数的图像 提示 先判断函数的奇偶性 作函数在y轴右侧的图像 根据奇偶性
8、得到函数左侧的图像 类题 通 巧用奇偶性作函数图像的步骤 1 确定函数的奇偶性 2 作出函数在 0 或 0 上对应的图像 3 根据奇 偶 函数关于原点 y轴 对称得出在 0 或 0 上对应的函数图像 习练 破 已知函数y f x 是定义在R上的偶函数 且当x 0时 f x x2 2x 现已画出函数f x 在y轴左侧的图像 如图所示 1 请补出完整函数y f x 的图像 2 根据图像写出函数y f x 的增区间 值域 解析 1 由题意作出函数图像如图 2 据图可知 单调增区间为 1 0 1 值域为 1 加练 固 定义在R上的奇函数f x 在 0 上的图像如图所示 1 画出f x 的图像 2 写出
9、函数的单调减区间 解析 1 先描出 1 1 2 0 关于原点的对称点 1 1 2 0 连线可得f x 的图像如图 2 单调减区间为 1 1 类型三利用奇偶性求参数值角度1利用奇偶性求参数值 典例 已知函数f x x3 a 1 x2的图像关于原点对称 则a 世纪金榜导学号 A 1B 1C 2D 2 思维 引 根据图像 先得到奇偶性 再根据定义求值 解析 选B 因为函数图像关于原点对称 所以函数是奇函数 则f x f x 得 x3 a 1 x2 x3 a 1 x2 即 a 1 x2 0 即a 1 0 得a 1 素养 探 在利用奇偶性的过程中 需要用到核心素养中的逻辑推理 将奇偶性转化为相应的等式
10、通过逻辑推理 计算求参数的值 若将本例中的条件改为函数f x ax2 a 1 x 2是偶函数 试求a的值 解析 若f x 是偶函数 则f x f x 即k x 2 k 1 x 2 kx2 k 1 x 2 即 k 1 x 0对于x R恒成立 则k 1 0 k 1 角度2利用奇偶性求函数值 典例 1 已知函数f x ax3 bx 2 f 2019 3 则f 2019 世纪金榜导学号 A 7B 5C 3D 2 2 已知f x g x 分别是定义在R上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x 1 则f 1 g 1 A 3B 1C 1D 3 思维 引 1 利用f 2019 3求出未知式子的值 再求f
11、 2019 的值 2 利用奇偶函数的定义 构造f x g x 后求值 解析 1 选A 因为f 2019 3 所以f 2019 20193a 2019b 2 3 所以20193a 2019b 5 所以f 2019 20193a 2019b 2 5 2 7 2 选B 由f x g x x3 x 1 将所有x替换成 x 得f x g x x3 x 1 根据f x f x g x g x 得f x g x x3 x 1 再令x 1 计算得 f 1 g 1 1 类题 通 利用奇偶性求参数的常见类型及策略 1 定义域含参数 奇 偶函数f x 的定义域为 a b 根据定义域关于原点对称 a b 0求参数 2
12、 解析式含参数 根据f x f x 或f x f x 列式 比较系数即可求解 习练 破 1 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 且当x 1时 f x 1 则f 2 解析 选B 根据题意 当x 1时 f x 1 则f 2 1 又由函数f x 为奇函数 则f 2 f 2 2 已知函数f x ax2 bx c 2a 3 x 1 是偶函数 则a b 解析 因为f x 是偶函数 所以其定义域关于y轴对称 所以 2a 3 1 所以a 1 所以f x x2 bx c 因为f x f x 所以 x 2 b x c x2 bx c 所以 b b 所以b 0 答案 10 加练 固 若f x ax2 bx c a 0 是偶函数 则g x ax3 bx2 cx是 A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数 解析 选A 因为f x ax2 bx c a 0 是偶函数 所以f x f x 即ax2 bx c ax2 bx c 所以b 0 所以g x ax3 bx2 cx ax3 cx 所以g x ax3 cx g x 所以g x 是奇函数
