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1、第2课时函数概念的综合应用 1 同一个函数 思考 函数有定义域 对应关系和值域三要素 为什么判断两个函数是否是同一个函数 只看定义域和对应关系 提示 由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域 所以判断两个函数是否是同一个函数 只看定义域和对应关系即可 2 常见函数的定义域和值域 思考 求二次函数y ax2 bx c a 0 的值域时为什么分a 0和a 0两种情况 提示 当a 0时 二次函数的图像是开口向上的抛物线 观察图像得值域为当a 0时 二次函数的图像是开口向下的抛物线 观察图像得值域为 素养小测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 若两个函数的定义域与值域都相同 则这两个函数是同一个函数
2、 2 函数f x x2 x与g t t2 t不是同一个函数 3 函数f x 1的值域是 1 1 提示 1 例如f x 与g x 的定义域与值域相同 但这两个函数不是同一个函数 2 函数f x x2 x与g t t2 t的定义域都是R 对应关系完全一致 所以这两个函数是同一个函数 3 因为 0 所以 1 1 2 若函数y x2 3x的定义域为 1 0 2 3 则其值域为 A 2 0 4 B 2 0 2 4 C D 0 3 解析 选A 依题意 当x 1时 y 4 当x 0时 y 0 当x 2时 y 2 当x 3时 y 0 所以函数y x2 3x的值域为 2 0 4 3 设函数f x 2x 3的值域
3、是 1 5 则其定义域为 解析 由 1 2x 3 5 解得 2 x 1 即函数定义域为 2 1 答案 2 1 类型一判断两个函数是否是同一个函数 典例 1 若函数f x 2与g x x x D 是同一个函数 则D可以是 A 0 B 0 C 0 D 0 2 判断下列各组中的两个函数是同一个函数的为 世纪金榜导学号 1 y1 y2 x 5 2 y1 3 f x x g x 4 f x F x A 1 2 B 2 3 C 4 D 3 思维 引 1 根据相等函数的定义域相同求D 2 先求定义域 若定义域不同 则不相等 若定义域相同 再化简函数的解析式 看对应关系是否相同 解析 1 选C 函数f x 的
4、定义域为 0 即D 0 2 选C 对于 1 两个函数的定义域不同 所以不是同一个函数 对于 2 两个函数的定义域不同 如当x 1时函数y1 无意义 但y2 有意义 所以不是同一个函数 对于 3 g x x 两个函数的对应关系不同 所以不是同一个函数 对于 4 f x 所以两个函数定义域相同 对应关系相同 是同一个函数 内化 悟 判断两个函数是否是同一个函数的步骤是什么 提示 先分别求出两个函数的定义域 若定义域相同则考查解析式是否相同 类题 通 判断函数是同一函数的三个步骤和两个注意点 1 判断函数是否是同一函数的三个步骤 2 两个注意点 在化简解析式时 必须是等价变形 与用哪个字母表示解析式
5、无关 习练 破 下列各组函数中表示同一个函数的是 A y 与y x 3B y 与y x 1 C y x0 x 0 与y 1 x 0 D y 2x 1 x Z与y 2x 1 x Z 解析 选C 选项A中两函数的定义域不同 选项B D中两函数的对应关系不同 加练 固 判断下列各组函数是否是同一个函数 并说明理由 1 f x 2x 1 x R g x 2x 1 x N 2 f x x2 g x 3 y y x 1 解析 1 对应关系一致 但定义域不同 因而不是同一个函数 2 定义域相同 但对应关系不一致 因而不是同一个函数 3 y x 1 与函数y x 1的对应关系不一致 所以两个函数不是同一个函数
6、 类型二利用函数的解析式求值 式 典例 已知f x g x x2 2 1 求f 2 g 2 f g 2 2 求f g x 思维 引 1 将x分别替换成2求出f 2 g 2 再求f g 2 2 将x替换成代入化简 解析 1 f 2 g 2 22 2 6 把g 2 22 2 6代入f x 得f g 2 f 6 2 f g x f x2 2 内化 悟 函数f x 中的x只能是数字吗 提示 可以是数字 也可以是字母 式子 类题 通 利用函数的解析式求值函数解析式中的x可以是数字 字母 式子 只要将数字 字母 式子整体代入 即可化简求值 代入遵循从里向外的代入顺序 习练 破 设f x 其中x 0 且x
7、1 则f f x 解析 由f x 则f f x 答案 加练 固 设函数f x 3x2 1 则f a f a 的值是 A 0B 3a2 1C 6a2 2D 6a2 解析 选A f a f a 3a2 1 3 a 2 1 0 类型三求函数的值域角度1利用不等式的性质求值域 典例 1 已知函数f x 则f x 的值域是 2 求函数f x 的值域 世纪金榜导学号 思维 引 1 利用不等式的性质推导的范围或变形后利用方程有解求值域 2 对解析式变形后利用不等式的性质求值域 解析 1 选C 方法一 因为x2 2 2 所以所以f x 的值域为 方法二 设t是所求值域中的元素 则关于x的方程应该有解 即x2
8、2应该有解 所以 2 0 即解得0 t 所以所求值域为 0 2 函数f x 的定义域为 x x 1 因为f x 因为x 1 所以 0 所以f x 5 所以函数f x 的值域为 5 5 素养 探 利用不等式求值域时 常常用到核心素养中的数学运算 利用解析式的变形 推导解析式的范围 将本例2中的函数变为f x 试求值域 解析 f x 的定义域为因为f x 所以f x 所以函数的值域为 角度2配方法求值域 典例 求下列函数的值域世纪金榜导学号 1 f x x2 2x 2 2 f x 思维 引 1 先配方再求值域 2 先换元 再配方求值域 解析 1 函数的定义域为R 因为f x x2 2x 2 x 1
9、 2 1 1 所以函数的值域为 1 2 因为函数有意义当且仅当x 1 0 即x 1 故函数的定义域是 1 设t 则x t2 1 t 0 于是g t 又因为t 0 故g t 所以函数的值域是 类题 通 求函数值域的常用方法 1 利用不等式的性质 结合定义域 利用x的变形 推导解析式的范围 2 利用方程有解 设值域内的元素t 用t表示x 根据x的范围求t的范围 即值域 3 配方法 是求 二次函数 类值域的基本方法 4 换元法 运用新元代换 将所给函数化成值域易确定的函数 从而求得原函数的值域 对于f x ax b 其中a b c d为常数 且ac 0 型的函数常用换元法 5 分离常数法 此方法主要
10、是针对分子分母同次的分式 即将分式转化为 反比例函数类 的形式 便于求值域 发散 拓 对于形如y 的函数 还可以把已知函数转化为关于变量的二次方程 再利用方程有解 即判别式非负 从而求得原函数值域的方法叫判别式法 延伸 练 试用此法求函数y 的值域 解析 易知函数的定义域是R 由y 得yx2 x y 0 当y 0时 x 0 所以y可以为0 当y 0时 1 4y2 0 所以综上可得 所求函数的值域为 习练 破 2019 天津高一检测 求下列函数的值域 1 f x 2 y 解析 1 f x 的定义域为R x2 x 1 所以所以f x 的值域为 2 令t t 0 则x 1 t2 换元可得函数的解析式 g t 1 t2 4t t 2 2 5 又因为t 0 故g t 5 所以函数的值域是 5 加练 固 求下列函数的值域 1 y 2 y 3 y 3x2 x 2 解析 1 方法一 由x2 0及4 x2 0 观察得 0 2 故此函数的值域为 0 2 方法二 由x2 0得 x2 0 得4 x2 4 所以0 2 故此函数的值域为 0 2 2 y 因为所以y 所以函数的值域为 3 函数y 值域为
