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1、1 第五章 平面向量 2 5 1向量的概念及其几何运算 3 4 一 向量的有关概念1 既有 又有 的量叫做向量 向量可以用有向线段来表示 2 向量的大小 也就是向量的 或称模 记作 3 长度为 的向量叫做零向量 记作0 规定零向量的方向是 长度为1的向量叫做单位向量 大小 方向 长度 0 任意的 5 4 方向 的向量叫做平行向量 也叫做 规定 零向量与 平行 5 长度 且方向11 的向量叫做相等向量 二 向量的初等运算1 向量的加法法则有12 法则和13 法则 2 向量的加法满足14 律和15 律 相同或相反 线向量 任一向量 相等 相同 平行四边形 三角形 交换 结合 6 3 与a长度16
2、方向17 的向量 叫做a的相反向量 4 实数 与向量a的乘积 a是一个18 它的长度是 a 的19 倍 它的方向为 当 0时 与a的方向20 当 0时 与a的方向21 当 0时 a 22 5 设a b是任意向量 是实数 则实数与向量的积满足以下运算律 1 结合律 即 a 23 相等 相同 向量 相同 相反 0 a 7 2 第一分配律 即 a 24 第二分配律 即 a b 25 三 两个重要定理1 线向量定理 向量b与26 向量a线的充要条件是27 2 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个28 向量 那么对这一平面内的任一向量a29 一对实数 1 2 使30 其中e1 e2是31
3、a a a b 非零 有且只有一个实数 使得b a 不线 有且只有 a 1e1 2e2 一组基底 8 9 如图 D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 则 10 解法1 因为所以得故选A 解法2 11 已知O是 ABC所在平面内一点 D为BC边的中点 且那么 解 因为O是 ABC所在平面内一点 D为BC边的中点 所以由得即 A 12 在平行四边形ABCD中 AC与BD交于点O E是线段OD的中点 AE的延长线与CD交于点F 若则AF 解 如图 易知解得 13 因为E是线段OD的中点 AE的延长线与CD交于点F 所以所以故选B 14 1 判断下列命题的真假 并说明理由 若 a b 则
4、a b或a b 若则A B C D是一个平行四边形的四个顶点 若a b b c 则a c 题型1向量有关概念的辨析 第一课时 15 若a b b c 则a c 设a b为非零向量 a b a b a b 且a与b方向相反 解 两向量相等必须大小相同而且方向相同 因此 模相等是向量相等的必要不充分条件 故此命题不正确 由可得且 由于可能是A B C D在同一条直线上 故此命题不正确 正确 16 不正确 当b 0时 a c不一定成立 正确 点评 相等向量 平行向量 零向量是向量中的几个基本概念 两向量相等的充要条件是 方向相同且长度相等 平行向量对应的直线 或线段 在同一直线上 或在两平行直线上
5、零向量是方向任意 长度为零的向量 与其他非零向量都平行 17 判断下列命题是否正确 不正确的说明理由 若向量a与b同向 且 a b 则a b 对于任意向量a b满足 a b 且a与b的方向相同 则a b 由于零向量0的方向不确定 故0不能与任一向量平行 向量a与向量b平行 则向量a与向量b的方向相同或相反 18 向量与向量是线向量 则A B C D四点在一条直线上 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 解 不正确 因为向量是不同于数量的一种量 它由两个因素来确定 即大小与方向 所以两个向量不能比较大小 故 不正确 正确 因为 a b 且a与b同向 由两向量相等的条件可得a b 19
6、 不正确 由零向量的性质可得0与任一向量平行 可知 不正确 不正确 因为向量a与向量b中若有一个是零向量 则其方向不确定 不正确 若向量与向量是线向量 则向量与向量所在的直线平行或重合 因此 A B C D不一定线 正确 对于一个向量只要不改变其大小与方向 是可以任意移动的 20 2 如图 设E F G H分别是四边形ABCD四条边的中点 求证 证明 因为 得因为G H分别是AD BC的中点 题型2向量的加法 减法及数乘的应用 21 所以所以同理 故点评 利用向量证几何中的平行或相等问题 注意向量加法的合并原则 首尾相接 首尾连 而减法运算可转化为加上此向量的相反向量 从而统一成加法运算 另外
7、也可结合图形 利用加法的平行四边形法则或三角形法则进行加减运算 22 求证 点O是 ABC的重心的充要条件是证明 1 充分性 因为所以即是与方向相反且长度相等的向量 如图所示 以OB OC为相邻的两边作平行四边形BOCD 则所以 23 在平行四边形BOCD中 设BC与OD相交于点E 则所以AE是 ABC的边BC的中线 且所以点O是 ABC的重心 2 必要性 因为O点是 ABC的重心 连结AO并延长交BC于E 则E为BC的中点 延长OE到D 使则四边形BOCD为平行四边形 所以所以 24 1 向量的加法与减法是互逆运算 2 当一个向量的终点为另一个向量的始点时 可用向量加法的三角形法则 而当它们的始点相同时 可用向量加法的平行四边形法则 3 运用向量加减法解决几何问题时 需要发现或构造三角形或平行四边形 另外注意三角形的四心 外心 三角形外接圆的圆心 即三边中垂线的交点 重心 三角形三条中线的交点 25 垂心 三角形三条高线的交点 内心 三角形三个内角的平分线的交点 4 若C为线段AB的中点 O为直线AB外一点 由向量加法的平行四边形法则可得
