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1、1 第十章 排列 组合 二项式定理和概率 2 10 4二项式定理 题型4利用二项式定理求组合数的和 1 求下列各式的和 1 2 3 解 1 原式 2 因为 1 x n x 1 n x 1 2n 所以 比较等式两边xn 1的系数 得 点评 逆用 变用二项式定理是解决组合数求和公式的关键 4 求的和 解 设 则 倒序 两式相加 得 所以S n 2n 1 即 5 2 1 求证 4 6n 5n 1 9 n N 能被20整除 2 求5555除以8的余数 解 1 证明 因为4 6n 5n 1 9 4 6n 1 5 5n 1 4 5 1 n 1 5 4 1 n 1 所以4 6n 5n 1 9能被20整除 题
2、型5利用二项式定理解决整除性和余数问题 6 2 因为5555 56 1 55 又56是8的倍数 故上面的展开式可设为8m 1 因为8m 1 8 m 1 7 所以5555除以8的余数是7 点评 求整除或余数问题 一般是把被除式配凑成除式的倍式加余数的形式 如第 1 问中先分别把4 6n中的6n变为5的倍数加余数的形式 而5 5n的化为4的倍数加余数的形式 这样就凑出20的倍数式和余数式 7 若能被7整除 则x n的值可能为 A x 4 n 3B x 4 n 4C x 5 n 4D x 6 n 5解 当x 5 n 4时 1 x n 1 64 1 35 37能被7整除 故选C 拓展练习 C 8 3
3、求下列各数的近似值 使误差小于0 001 1 1 028 2 0 9986 解 1 1 028 1 0 02 8 因为精确度为0 001 比它小的数可以忽略 所以1 028 1 0 16 0 0112 1 1712 1 171 题型6利用二项式定理求近似值 9 2 0 9986 1 0 002 6 因为T3 15 0 000004 0 001 且以后各项的绝对值都小于0 001 这些项可忽略不计 所以0 9986 1 6 0 002 1 0 012 0 988 点评 指数的近似值计算可转化为二项式定理的展开式 由近似值的要求 转化为求展开式的前两项或前三项的值即可 10 某地现有耕地10000
4、公顷 规划10年后粮食单产比现在增加22 人均粮食占有量比现在提高10 如果人口年增长率为1 那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷 精确到1公顷 粮食单产 人均粮食占有量 总产量耕地面积 总产量总人口数 11 解 设耕地平均每年至多只能减少x公顷 又设该地区现有人口为P人 粮食单产为M吨 公顷 依题意得 化简得 12 因为 所以x 4 公顷 所以耕地平均每年至多只能减少4公顷 13 证明下列不等式 1 1 n N n 2 2 1 x n 1 x n 2n x 1 n 2 证明 1 令a 1 x x 0 则 题型利用二项式定理证不等式 14 又 即 所以 故 2 1 x n 1 x n 因为 x
5、 1 所以0 x2k 1 所以 1 x n 1 x n 2 2n 1 2n 15 1 求有关组合数的和 一般构造一个二项展开式 再逆用二项式定理化简求和 或者构造一个二项式恒等式 使所求的组合数的和为展开式中某项的系数 再比较等式两边相应项的系数得出结论 2 利用二项式定理找出某两个数 或式 之间的倍数关系 是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路 关键是要合理地构造二项式 并将它展开进行分析判断 16 3 利用二项式定理进行近似值计算 就是将所求的指数表示成二项式 展开后根据近似值精确度要求 保留前几项 再求其代数和 4 对某些含指数式的不等式证明 可考虑将指数式化为二项式 展开后通过放缩化简 转化为不等式的另一边
