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1、 7 3圆的方程 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 7 3圆的方程 双基研习 面对高考 1 圆的概念及圆的标准方程 1 圆 平面上 到一定点O的距离等于定长r r 0 的点P的集合 轨迹 叫作圆 其特征是 其中O叫圆心 r叫半径 圆心决定 半径决定 PO r r 0 圆的位置 圆的大小 2 圆的标准方程是 圆心是 确定圆的标准方程 只需知道圆心和半径即可 常采用的方法是 3 点和圆的位置关系有三种 点在圆上 满足的条件是点到圆心的距离 半径 点在圆内 满足的条件是点到圆心的距离 半径 点在圆外 满足的条件是点到圆心的距离 半径 x a 2 y b 2 r2 r 0 a
2、 b 待定系数法 等于 小于 大于 D2 E2 4F 0 D2 E2 4F 0 D2 E2 4F 0 3 当已知圆心坐标和半径求圆的方程时 一般设为标准方程 当已知圆上三点时一般设为一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 当已知圆的直径的两个端点时 一般设为 x a 2 y b 2 r2 r 0 x x1 x x2 y y1 y y2 0 思考感悟方程Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么 答案 A 答案 D 答案 B 3 圆x2 y2 2x 1 0关于直线y x对称的圆的方程是 A x 1 2 y2 4B x 1 2 y2 2C x2 y 1
3、2 4D x2 y 1 2 2答案 D 4 教材习题改编 过点O 0 0 M1 1 1 M2 4 2 的圆的方程为 5 2009年高考广东卷 以点 2 1 为圆心且与直线x y 6相切的圆的方程是 答案 x2 y2 8x 6y 0 考点探究 挑战高考 方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是D2 E2 4F 0 在解决与圆的一般方程有关的问题时 必须注意这一隐含的条件 已知方程x2 y2 2 t 3 x 2 1 4t2 y 16t4 9 0 t R 的图形是圆 1 求t的取值范围 2 求其中面积最大的圆的方程 3 若点P 3 4t2 恒在所给圆内 求t的取值范围 思路点拨 把一般方
4、程化为标准方程 规律小结 判断点与圆的位置关系时 一般可从代数特征 将点的坐标代入圆的方程进行检验 或几何特征 点到圆心的距离与半径的关系 去考虑 其中用几何特征较为简捷 实用 无论是圆的标准方程还是圆的一般方程 都有三个待定系数 因此求圆的方程 应用三个条件来求 一般地 已知圆心或半径的条件 选用圆的标准式 否则选用一般式 另外 还可用几何法来求圆的方程 要充分利用圆的有关几何性质 如 圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上 半径 弦心距 弦长的一半构成直角三角形 等 思路点拨 设出圆的方程 利用待定系数法求解 答案 1 x 2 2 y2 2 2 x 3 2 y2 2 变式训练1 2009年高考宁
5、夏 海南卷 已知圆C1 x 1 2 y 1 2 1 圆C2与圆C1关于直线x y 1 0对称 则圆C2的方程为 A x 2 2 y 2 2 1B x 2 2 y 2 2 1C x 2 2 y 2 2 1D x 2 2 y 2 2 1 解析 选B 因为圆C1 x 1 2 y 1 2 1 所以圆C1是以 1 1 为圆心 1为半径的圆 又因为点 1 1 关于直线x y 1 0的对称点为 2 2 所以圆C2 x 2 2 y 2 2 1 故选B 解决轨迹问题 应注意以下几点 1 求方程前必须建立平面直角坐标系 若题目中有点的坐标 就无需建系 否则曲线就不可转化为方程 2 一般地 设点时 将动点坐标设为
6、x y 其他与此相关的点设为 x0 y0 等 3 求轨迹与求轨迹方程是不同的 求轨迹方程得出方程即可 而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形 2009年高考上海卷 点P 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点轨迹方程是 A x 2 2 y 1 2 1B x 2 2 y 1 2 4C x 4 2 y 2 2 4D x 2 2 y 1 2 1 思路点拨 把所求轨迹上任一点坐标转化为圆上点坐标 代入圆的方程即可得出结论 答案 A 规律小结 本题求轨迹方程的方法叫相关点法 用相关点法求轨迹方程的基本步骤 1 设所求点的坐标为P x y 若x y与题中已知的字母有冲突 则将这些已知字母全
7、部替换成其他字母 与P相应的符合某已知曲线的点的坐标设为Q x0 y0 2 建立二者之间的等量关系 从而求得x0 f x y y0 g x y 3 将Q x0 y0 的坐标代入点Q满足的方程进行求解 等价化简得所求轨迹方程 求与圆有关的最值问题多采用几何法 就是利用一些代数式的几何意义进行转化 如 1 形如m 的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by的最值问题 可转化为直线在y轴上的截距的最值问题 3 形如m x a 2 y b 2的最值问题 可转化为两点间的距离平方的最值问题 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值
8、和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 思路点拨 根据代数式的几何意义 借助平面几何知识 数形结合求解 方法技巧 1 确定一个圆的方程 需要三个独立条件 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 进而确定其中的三个参数 如例2 2 解答圆的问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 如例4 3 在求圆的方程时 常用到圆的以下几个性质 如例2 1 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任一弦的中垂线上 3 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心三点共线 失误防范求圆的方程需要三个独立条件 所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程
9、 考向瞭望 把脉高考 圆的方程是每年高考必考的知识点之一 考查重点是求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标 半径等 题型既有选择题 填空题 又有解答题 客观题突出了 小而巧 主要考查圆的标准方程 一般方程 主观题往往在知识交汇处命题 除考查圆的方程外 还考查待定系数法 方程思想等 预测2012年高考仍将以求圆的方程为主要考点 重点考查运算能力以及逻辑推理能力 2010年高考湖南卷 若不同两点P Q的坐标分别为 a b 3 b 3 a 则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 圆 x 2 2 y 3 2 1关于直线l对称的圆的方程为 答案 1x2 y 1 2 1 名师点评 1 本题易失误的是 一是列错两点关
10、于一条直线对称的条件 如把这两点的中心坐标代入对称轴方程时忽视了中点坐标公式中的分母2 两点连线的斜率与对称轴的斜率之积写成1等 二是计算出错 在解决关于轴对称问题时一定要把条件用对 细心运算 2 两个圆关于一条直线对称 其实质是求圆心关于这条直线的对称点 这是解析几何的基础类问题 本题在教材及过去的高考试题中都不乏其例 3 两点关于一条直线对称满足两个条件 一是这两点连线的中点在这条直线上 二是这两点的连线和这条直线垂直 本题就是根据这两条列出方程组解决问题的 方程思想在解析几何里应用广泛 要注意体会 4 点 m n 关于直线y x b对称点的坐标是 n b m b 其规律是把点 m n 的
11、横坐标代入方程y x b解得的y值为其对称点的纵坐标 把 m n 的纵坐标代入方程y x b解得的x值为其对称点的横坐标 关于y x b有同样的规律 1 以点 2 1 为圆心 与直线3x 4y 5 0相切的圆的方程为 A x 2 2 y 1 2 3B x 2 2 y 1 2 3C x 2 2 y 1 2 9D x 2 2 y 1 2 9 2 设圆x2 y2 2x 6y 1 0上有关于直线2x y c 0对称的两点 则c的值为 A 2B 1C 2D 1解析 选B 依题意 直线过圆心 1 3 故c 1 3 二次方程x2 y2 2mx 2m2 2 0表示不经过第一象限的圆 则实数m的取值范围是 4 已知圆C经过两点A 4 2 和B 1 3 且在两坐标轴上的四个截距之和为2 则圆C的方程为 答案 x2 y2 2x 12 0
