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1、数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分 1、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1表示集合中整数元素的个数，设集合，则（ ）A3B4C5D62已知复数满足，则的共轭复数是（ ）A B C D3已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）ABCD4宋代诗词大师欧阳修的卖油翁中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”如果铜钱是直径为的圆，钱中间的正方形孔的边长为，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ）A B C D5命题，命题
2、，则是的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C必要充分条件 D既不充分也不必要条件6已知数列中，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第项，则判断框内的条件是（ ）A B C D 7函数的大致图象为（ ）A BC D8若函数(其中，)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度9已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（ ）A1 B0 C D10圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆
3、周也在球面上）的体积比为（ ）ABCD11已知直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D12若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）A B C D 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于 14在中，角、的对边分别为、，若，则的值为 15正四棱锥底面边长为，高为，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 16定义在上的函数满足，的导函数，且对恒成立，则的取值范围是 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
4、步骤.）17（本小题12分）在公差为的等差数列中，（1）求的取值范围；（2）已知，试问：是否存在等差数列，使得数列的前项和为？若存在，求的通项公式；若不存在，请说明理由18（本小题12分）如图1，梯形中，过，分别作，垂足分别为、，已知，将梯形沿，同侧折起，得空间几何体，如图2（1）若，证明：平面；（2）若，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长19（本小题12分）山东省高考改革试点方案规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、共8个等级参照正态分布原则
5、，确定各等级人数所占比例分别为、选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布（1）求物理原始成绩在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望（附：若随机变量，则，）20（本小题12分）已知椭圆，点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）若过原点的直线与椭圆交于，两点，且在直线上存在点，使得是以为直角顶点的直角三角
6、形，求实数的取值范围21（本小题12分）已知函数，（1）讨论的单调性；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点如果函数存在不动点，求实数的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求，交点的直角坐标；（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若，对，使成立，求实数的取值范围数学（理科）参考答案一选择题（本
7、大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CB CDABDBAADD1【解答】，故选C2【解答】由，得，所以故选B3【解答】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，有，又由在上单调递增，则有，故选C4【解答】由题，所以故选D5【解答】在平面直角坐标系中作出满足的区域，如图所示，则是的充分不必要条件故选A6【解答】 由递推式，可得，.将以上个式子相加，可得，则.由程序框图可知，当判断框内的条件是时，则输出的，.综合可知，若要想输出式的结果，则故选B7【解答】，排除B，C，当时，则时，排除A，故选D8【解答】根据已知函数(其中，)的图象过点，可得，解得再根据五点法作
8、图可得，可得，可得函数解析式为，故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B9【解答】如图所示，所以取最小值时，即取最小值，即与直线垂直，此时，则故选A10【解答】设圆锥底面圆的半径为，圆锥母线长为，则侧面积为，侧面积与底面积的比为，则母线，圆锥的高为，则圆锥的体积为，设外接球的球心为，半径为，截面图如图，则，在直角三角形中，由勾股定理得，即，展开整理得，外接球的体积为，故所求体积比为故选A11【解答】由题意可得图像如右图所示：为双曲线的左焦点，为圆的直径，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形，又，可得，故选D12【解答】由，得，化为，即，即函数在上单调递增，令，得，故的最大值为1故选
9、D二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15 1613【解答】该二项式的二项式系数之和为，得该二项式的展开式通项为，令，得，则常数项为14【解答】由正弦定理可得：，即，15【解答】如图所示，取，的中点，则，所以平面平面，而平面，所以平面，则动点在四棱锥表面上运动的轨迹为，则动点的轨迹的周长为16【解答】由，得，令，则，所以在上单调递增，得，即，得.由，得，令，则，所以函数在上单调递减，得，即，得.综上所述，故填三.解答题(本大题共6小题,共70分.)17（本小题满分12分）【解答】（1），整理得，2分则，解得，则的取值范围为5分（2），即，则6分假设存在等差数列，则，即，
10、解得，从而，8分此时，9分，11分故存在等差数列，且，使得数列的前项和为12分18（本小题满分12分）【解答】（1）由已知得四边形是正方形，且边长为2，在图2中， 1分由已知得，平面，2分又平面， 3分又，平面5分（2）在图2中，即面，在梯形中，过点作交于点，连接，由题意得，由勾股定理可得，则，过作交于点，可知，两两垂直，以为坐标原点，以，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，7分则，设平面的一个法向量为，由得，取得， 9分设，则，得 10分设与平面所成的角为， 12分19（本小题满分12分）【解答】（1）因为物理原始成绩，所以3分所以物理原始成绩在的人数为（人）5分（2）由题意得，随机
11、抽取1人，其成绩在区间内的概率为所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0，1，2，3，且，7分所以；所以的分布列为0123 11分所以数学期望 12分20. (本小题满分12分)【解答】（1）由题设知，由点在椭圆上，得，解得，又点在椭圆上，即，解得，所以椭圆的方程是4分（2）【法1】设、，由，得， 6分设，则，依题意，得，即，8分， 有解， 10分化简得，或 12分【法2】设、，由，得，不妨设，则 7分设原点到直线的距离为，则 8分若存在满足条件的点，则以为直径的圆与有公共点，故即， 10分化简得，或 12分21. (本小题满分12分)【解答】（1）的定义域为，1分对于函数，当时，即时，在恒成立在恒成立，在为增函数； 2分当，即或时，当时，由，得或，在为增函数，减函数，为增函数， 4分当时，由在恒成立，在为增函数5分综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数（2），存在不动点，方程有实数根，即有解，7分令，8分令，得，当时，单调递减；当时，单调递增， 10分，11分当时，有不动点，的范围为12分22.（本小题满分10分）【解答】（1）， 1分，3分联立方程组得
