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1、安徽省泗县第一中学2019届高三数学最后一模考试试题 理（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义，找出集合M,N的公共元素即可。【详解】因为集合 ，所以 ，故选C.【点睛】本题考查集合的表示方法，交集的定义与运算，属于基础题。2.为虚数单位，复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式后可得答案【详解】由题意得，所以复数的虚部是故选B【点睛】本题考查复
2、数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数的虚部为，要强化对复数概念的理解，属于基础题3.如图，在边长为的正方形内有不规则图形，由电脑随机从正方形中抽取个点，若落在图形内和图形外的点分别为，则图形面积的估计值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据面积型的几何概型概率公式进行估计计算可得答案【详解】设图形面积为，则由几何概型及题意得，所以，即图形面积的估计值为故选C【点睛】本题考查几何概型概率的应用，解题的关键是明确落在图形内的点的概率等于两图形的面积比，属于基础题4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的一个焦点到的距离为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【
3、答案】D【解析】【分析】根据题意求出参数的值后可得双曲线的方程【详解】由可得，即渐近线的方程为，又一条渐近线的倾斜角为，所以因为双曲线的一个焦点到的距离为，所以，所以，所以双曲线的方程为故选D【点睛】本题考查双曲线方程的求法，解题的关键是根据题意求出参数的值，解题是要注意将条件中给出的数据进行适当的转化，属于基础题5.已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：等差数列单调递增，即，即，考点：等差数列的通项公式6.在边长为的菱形中，为的中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】选择向量为基底，根据向量数量积的定
4、义求解即可【详解】选择向量为基底，则，所以故选A【点睛】求向量数量积的两种方法：一是根据数量积的定义求解，此时需要先选择基底，将所有向量都用该基底表示，然后按照定义求解；二是根据向量的坐标进行计算，此时需要建立直角坐标系，进而得到向量的坐标，最后转化为数的运算问题7.已知命题：，命题：，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数和函数零点分别判断命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可。【详解】解：令 ，时， ，所以f(x)在 单调递增， ，p真；令 ， ， ，所以 在 恒成立，q假；故选C.【点睛】本题考查利用导数研究函数最值，复合命题真假的判断
5、，属于中档题。8.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案【详解】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，柱体的底面由一个边长为4的正方形和一个底边长为4，高为2的三角形组成，故柱体的底面面积S44+2420，由三视图可知h6故柱体的体积VSh120，故选：B【点睛】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数
6、据，再根据相关的公式求表面积与体积9.高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。某高铁换乘站设有编号为，的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：安全出口编号疏散乘客时间(s)120220160140200则疏散乘客最快一个安全出口的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果【详解】（1）同时开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客比快60s（2）同时
7、开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，所以疏散1000名乘客比快80s（3）同时开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，所以疏散1000名乘客比快100s（4）同时开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以疏散1000名乘客比快60s（5）同时开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，同时开放两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为1
8、40s，所以疏散1000名乘客比快20s综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是【点睛】本题考查推理的应用，考查分析判断的能力，解题的关键是读懂题意，然后得到每两个安全出口疏散1000名乘客所用时间的大小关系，比较后可得结果10.若函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得方程有三个不同的实数根，令，然后画出函数的大致图象，由函数的图象以及余弦图象的对称轴求出的值，判断出的范围，即可求出的取值范围【详解】由题意得方程有三个不同的实数根，令，画出函数的大致图象，如图所示 由图象得，当时，方程恰好有三个根令，得，当时，；当时，不妨设，由题
9、意得点关于直线对称，所以又结合图象可得，所以，即的取值范围为故选A【点睛】解答本题的关键是借助函数的图象利用数形结合求解，解题时注意余弦型函数图象对称性的应用，转化为只判断零点所在的范围的问题求解，考查画图、用图以及转化思想的应用，属于基础题11.已知长方体，正方形所在平面记为，若经过点的直线与长方体所有的棱所成角相等，且，则线段的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据题意求出点的坐标后可得所求长度【详解】如图，建立空间直角坐标系由题意得，设点的坐标，则由题意得与平行的棱所在直线的方向向量可分别取为，因为直线与所有的棱所成角相等，所以，因此，所以，
10、解得，所以点的坐标，即为正方形对角线的交点，因此，所以故选D【点睛】解答本题的关键是确定点M的位置，空间直角坐标系坐标系的建立，为探求未知点的位置提供了良好的工具，考查转化能力和计算能力，属于中档题12.设函数，其中，则满足的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得函数在上单调递减，设，则在上也为单调递减函数，然后将足化为，结合单调性可得答案【详解】设，则，所以当或时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以当时，函数单调递减又当时，函数单调递减，所以函数在上单调递减设，则在上也为单调递减函数，又，即，所以所以所求取值范围是故选A【点睛】本题考查函数单调性的应用
11、，解题的关键是分析条件得到函数在上单调递减，进而得到函数在上也单调递减考查分析和转化能力，属于中档题第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷上）13.已知实数满足条件，则的最大值为_【答案】2【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，令，则，然后平移直线，并根据的几何意义求解即可【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中的阴影部分所示令，则平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值所以故答案为：【点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中解题时要熟练画出可行域，
12、把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力14.在的展开式中，项的系数为_（用数字作答）【答案】0【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项，然后分两种情形通过拼凑的方法求得项的系数【详解】二项式展开式的通项为，所以的展开式中项为故答案为：【点睛】对三项式或乘积型的展开式的问题，一般转化为二项式的问题处理，求解时常常要借助组合的方式、通过“配凑”的方法得到所求项或系数，属于中档题15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上
13、，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，是的内角，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.已知抛物线：的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，点的坐标为（其中，满足）.当最小时，恰为正三角形，则_.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义，当垂直抛物线的准线时，取得最小值.由此得到点的坐标，根据焦点，以及三角形为等边三角
14、形，列方程，由此求得的值.【详解】依题意，抛物线的焦点坐标为.根据抛物线的定义可知，当垂直抛物线的准线时，取得最小值，故，由于三角形为等边三角形，而，根据对称性有，解得.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查和的最小值问题，考查等边三角形的几何性质，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.等差数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.（2）先求得等差数列前项和，然后利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，则，即，.（2）由（1）得，
