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1、安徽省师范大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 若直线的倾斜角为,则该直线的斜率为()A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】解：直线的倾斜角为,该直线的斜率为故选：D由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解本题考查直线倾斜角与斜率的关系,是基础的计算题2. 若点到直线的距离是,则实数a为 A. B. 5C. 或5D. 或3【答案】C【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离公式的应用,属于基础题解题时应熟记点到直线的距离公式由点到直线的距离公式即可求出实数a的值【解答】解：点到直线的距离是,所以；即,解得,或,所以实数a的值为或
2、5故选C3. 若三直线：,：,：经过同一个点,则()A. 1B. C. 3D. 【答案】D【解析】解：三直线：,：,：经过同一个点,故：,：的交点在直线：上,故有,求的,故选：D三直线经过同一个点,其中两条直线的交点也在第三条直线上,从而求得a的值本题主要考查三直线经过同一个点问题,属于基础题4. 一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为,则这个圆锥的体积为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：圆锥的展开图为扇形,半径,侧面积为为扇形的面积,所以扇形的面积,解得,所以弧长,所以底面周长为,由此可知底面半径,所以底面面积为,圆锥体的高为,故圆锥的体积,故选：C利用圆锥的侧面展开图,扇形的面
3、积,然后转化求解圆锥的体积本题考查圆锥的体积的求法,考查转化思想以及计算能力5. 某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：底面ABCD,可得三角形PCD不是直角三角形所以侧面中有3个直角三角形,分别为：,故选：C画出三视图的直观图,判断各个面的三角形的情况,即可推出结果本题考查简单几何体的三视图的应用,是基本知识的考查6. 过点作直线,若直线在两条坐标轴上的截距相等,则满足条件的直线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】B【解析】解：当直线过原点时,直线方程为,即当直
4、线不过原点时,设直线方程为,把点代入可得, 此时,直线方程为,故满足条件的直线有2条, 故选：B当直线过原点时,用点斜式求得直线方程；当直线不过原点时,设直线方程为,把点代入可得,故满足条件的直线有2条本题考查直线在两条坐标轴上的截距的定义,体现了分类讨论的数学思想,注意考虑直线过原点的情况,这是解题的易错点7. 已知三棱锥中,PA,PB,PC两两垂直,且,则三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积的求法,训练了利用“分割补形法”求多面体的体积,是基础题由三棱锥的侧棱PA,PB,PC两两垂直且相等,直接补形为正方体求解【解答】解：如图
5、,把三棱锥补形为正方体,可得三棱锥外接球的半径三棱锥外接球的表面积为故选：D8. 已知点,直线m过,且与线段AB相交,求直线m的斜率k的取值范围为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：根据题意,直线m过,设直线m的方程为,即,若直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上,则有,解可得：或；故选：A根据题意,设直线m的方程为,分析可得若直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上,则有,解可得k的范围,即可得答案本题考查一元二次不等式组表示平面区域的问题,注意直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上9. 已知a、b为不重合的直线,为平面,下列命题：若,则；若,
6、则；若,则；若,则,其中正确的有()个A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：错,若,则或, 错,若,则a与b平行或异面, 错,若,则或, 错,若,则或故选：A由空间中的线面关系逐个核对四个命题得出答案属于基础题,考查直线与平面的位置关系,空间想象能力10. 已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：把坐标代入两条直线和,得,过点,的直线的方程是：,则,所求直线方程为：故选：B把坐标代入两条直线和得,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程本题考查直线方程的求法,解题时要结合题设条件,合理地选用解题方法,注意公式的灵活运用,是基
7、础题11. 如图,正方体的棱长为1,动点E在线段上,F、M分别是AD、CD的中点,则下列结论中错误的是()A. B. 平面C. 存在点E,使得平面平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】C【解析】解：在A中,因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故A正确；在B中,由平面几何得,又有,所以平面,故B正确；在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故C错误在D中,三棱锥以面BCF为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确故选：C在A中,由F、M分别是AD、CD的中点,得到；在B中,由,得平面；在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面；在D中,三棱锥以面BCF为底,
8、则高是定值,从而三棱锥的体积为定值本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题12. 如图,在棱长为1的正方体中,点分别是棱的中点,P是侧面内一点,若平面 则线段长度的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：如下图所示：分别取棱、的中点M、N,连接MN,连接,、N、E、F为所在棱的中点,又平面AEF,平面AEF,平面AEF；,四边形为平行四边形,又平面AEF,平面AEF,平面AEF,又,平面平面AEF,是侧面内一点,且平面AEF,则P必在线段MN上,在中,同理,在中,求得,为等腰三角形,当P在MN中点O时,此时最短,P位
9、于M、N处时最长,所以线段长度的取值范围是故选：B分别取棱、的中点M、N,连接MN,易证平面平面AEF,由题意知点P必在线段MN上,由此可判断P在M或N处时最长,位于线段MN中点处时最短,通过解直角三角形即可求得本题考查点、线、面间的距离问题,考查学生的运算能力及推理转化能力,属中档题,解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置二、填空题（本大题共4小题）13. 过点且垂直于直线的直线方程为_【答案】【解析】解：直线的斜率为,由垂直关系可得所求直线的斜率为,所求直线的方程为,化为一般式可得故答案为：由垂直关系可得直线的斜率,进而可得点斜式方程,化为一般式即可本题考查直线的一般式方程与垂直关系
10、,属基础题14. 底面边长6,侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为_【答案】【解析】解：过A向底面BCD做垂线,垂足为O,由正三棱锥知,底面为正三角形,O为三角形ABC的中心,所以,因为侧面为等腰直角三角形,所以侧棱,在中,有勾股定理所以故答案为由正三棱锥知,底面为正三角形,得OB长,在直角三角形OAB中得AO即为正三棱锥的高本题考查正三棱锥的性质,属于简单题15. 已知动点A,B分别在x轴和直上,C为定点,则周长的最小值为_【答案】【解析】解：点C关于直线的对称点为,点C关于x轴的对称点为三角形PAB周长的最小值为与两点之间的直线距离,故答案为：点C关于直线的对称点为,点C关于x轴的对称点为
11、三角形PAB周长的最小值为与两点之间的直线距离本题考查点到直线的距离公式,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化16. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且；则此棱锥的体积为_【答案】【解析】解：根据题意作出图形：设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为,则平面ABC,延长交球于点D,则平面ABC,高,是边长为1的正三角形,故答案为根据题意作出图形,利用截面圆的性质即可求出,进而求出底面ABC上的高SD,即可计算出三棱锥的体积利用截面圆的性质求出是解题的关键三、解答题（本大题共5小题）17. 已知直线：,：,求：若,求m的值；若,求m的值【
12、答案】解：时,两条直线不垂直,舍去时,解得综上可得：由,解得：或经过验证时两条直线重合,舍去时,【解析】对m分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出由,解得：或经过验证时两条直线重合,舍去本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题18. 在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,且 求证：平面PAC；求异面直线BC与PD所成的角【答案】解：证明：平面ABCD,平面ABCD, , 又为正方形, , ,AC是平面PAC内的两条相交直线, 平面PAC 解：为正方形, , 为异面直线BC与PD所成的角由已知可知,为直角三角形,且, , , 异面
13、直线BC与AD所成的角为【解析】由题意易得且,又由PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,即可得平面PAC ,所以为异面直线BC与PD所成的角解三角形得所以异面直线BC与AD所成的角为本题考查线面垂直的条件直线垂直于平面内的两条相交直线,解决异面直线的夹角关键是平移线段使其相交且存在于同一个三角形中19. 已知直线l：证明：直线l过定点；若直线l不经过第四象限,求k的取值范围；若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程【答案】解：直线l的方程可化为,故无论k取何值,直线l总过定点直线l的方程可化为,则直线l在y轴上的截距为,要使直
14、线l不经过第四象限,则,解得k的取值范围是依题意,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为,又且,故,当且仅当,即时,取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为【解析】本题考查直线过定点问题,直线在坐标系中的位置,以及基本不等式的应用注意检验等号成立的条件属难题直线l的方程可化为,直线l过定点；要使直线l不经过第四象限,则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数,解出k的取值范围；先求出直线在两个坐标轴上的截距,代入三角形的面积公式,再使用基本不等式可求得面积的最小值20. 如图,在直三棱柱中,M,N分别为棱AC,的中点,且求证：平面平面求证：平面【答案】证明：因为M为棱AC的中点,且,所以,又因为是直三棱柱,所
