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1、安徽师范大学附属中学2018-2019学年度第二学期期中考查高 一 数 学 试 题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列：中的等于( )A. 28B. 32C. 33D. 27【答案】B【解析】试题分析：差成等差数列，所以考点：数列的概念及表示法2.在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为( )A. B. 2C. D. 4【答案】B【解析】试题分析：,故选B.考点：解三角形.3.在中，若,，则该三角形有且仅有两解；若三角形三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；若为锐角三角形，且三边长分别为2，3，则的取
2、值范围是其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理：,所以，这与矛盾，所以是假命题；角形的三边的比是3：5：7，设最大边所对的角为，则，因为所以，所以是真命题.当时，长为的边所对的角为最大角，因为ABC为锐角三角形，所以即:当时，长为3的边所对的角为最大角，因为ABC为锐角三角形，所以即：，所以，所以命题真命题.综上，命题都正确，故选C.考点：1、正弦定理；2、余弦定理.4.已知向量， ,若 ，则( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】先求，再利用向量共线得m,再求模长即可【详解】由题,又,解m=0,则故选：B【点睛
3、】本题考查向量的坐标运算，向量共线的坐标表示，模长公式，考查计算能力，是基础题5.设向量满足，,且，则向量在向量方向上的投影为( ）A. 1B. -1C. D. 【答案】D【解析】，设向量和向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影为选D6.在中，分别为三个内角 所对的边,设向量,， 若向量，则角大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据两个向量 ，得到两个向量的数量积等于0，可以求得三角形三边的关系，在利用三边关系求得角A【详解】，（b-c）b+（ca）（c+a）=0，b2+c2a2=bc，cosA=，又因为是在三角形中，A=故选：B【点睛】本题是一个解三角形的问题，兼有
4、向量与余弦定理的运算，由于向量兼有代数和几何两个方面的重要特征，解决这类问题时，首先要重视对向量表达式的理解；其次要善于运用向量的坐标运算，解决问题7.在等差数列中，则等差数列的前13项的和为（ ）A. 24B. 39C. 52D. 104【答案】C【解析】分析：先根据条件化为首项与公差的关系式，再代入等差数列求和公式化简得结果.详解：因为，所以所以因此选C.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问
5、题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.8.已知的内角所对的边分别为，且满足，则该三角形为（ ）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 直角三角形【答案】D【解析】由，即，化简得，所以为直角三角形故选：9.设四边形ABCD为平行四边形，.若点M，N满足，则（ ）A. 20B. 15C. 9D. 6【答案】C【解析】试题分析：不妨设该平行四边形为矩形，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，故.考点：向量运算.10.如图所示，在中，是边上的点，且，,则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：设，在中，由余弦定理得 ，在中由正弦定理得考点：解三角形点评：解三角
6、形的题目常借助于正余弦定理实现边与角的互化11.在中，有下列五个不等式：（1） （2） （3） （4） （5） 则其中一定成立的不等式的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】试题分析：在三角形中，结合三角函数图像可知（1）、（2）正确；若A为钝角，则（3）不正确；当时，（4）不正确；,所以（5）正确，故选A.考点：三角形中的三角函数关系.12.已知数列的前项和为，且满足，已知，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由1，得1，利用等差数列的通项公式可得：an（2n5）（n6），当且仅当3n5时，an0即可得出结论【详解】由1，即1，5数列为
7、等差数列，首项为5，公差为15+n1，可得：an（2n5）（n6），当且仅当3n5时，an0已知n，m，nm，则SnSm的最小值为36514故选：A【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在等差数列中，己知，则_【答案】1009【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求得数列的公差d，进而根据an求得n【详解】依题意，设公差为d，则得d2，所以an3+2（n1）2019，所以n1009，故答案为1009【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，熟记公式准确计算是关键，
8、属基础题14.已知,，与的夹角为，则使向量与的夹角是锐角的实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据向量数量积的公式以及向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可【详解】|，|1，与的夹角为45，|cos451，若（2）与（3）同向共线时，满足（2）m（3），m0，则，得，若向量（2）与（3）的夹角是锐角，则（2）（3）0，且，即22+32（6+2）0，即4+3（6+2）0，即27+60，得且，故答案为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据数量积和向量夹角的关系建立不等式关系是解决本题的关键注意向量同向共线时不满足条件15.如图，已知正方形的边长为2，点为的中点以为圆心，为半径，作弧
9、交于点若为劣弧上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】首先以A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，可设P（cos，sin），从而可表示出，根据两角和的正弦公式即可得到52sin（+），从而可求出的最小值【详解】如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：A（0，0），C（2，2），D（0，2），设P（cos，sin）（cos，2sin）（2cos）（cos）+（2sin）252（cos+2sin）sin（+），tan；sin（+）1时，取最小值故答案为：52【点睛】考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向
10、量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式16.若数列是正项数列，且，则 _【答案】【解析】【分析】通过已知条件求出数列的通项公式，然后化简所求数列的各项，利用等差数列求出数列的和【详解】因为数列an是正项数列，且n2+3n，（nN*）所以 （n1）2+3n3+2，所以得，2n+2，可得，则：4（n+1），又故所以43+4+（n+1）2n2+6n+10故答案为【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在平面内给定三个向量， ，（1）求满足的实数、的值（2）若向
11、量满足，且，求向量的坐标【答案】（1），；（2） 或 【解析】【分析】（1）利用向量坐标及向量相等求解即可；（2）若向量满足（）（），且|，求向量的坐标【详解】（1）由已知条件以及mn，可得：（3，2）m（1，2）+n（4，1）（m+4n，2m+n），解得实数m，n（2）设向量（x，y），（x4，y1），（2，4），（）（），|，解得或，向量的坐标为（3，1）或（5，3）【点睛】本题考查向量共线的充要条件以及向量的模，向量的坐标运算，基本知识的考查18.的内角对的边分别为，且,（1）求角；（2）若，点在线段上， ,求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角可得，利
12、用和角公式可得，进而得角；（2）将平方可得，进而利用面积公式求面积即可.详解：（1）因为 ，由正弦定理得： 即, 中， ，所以 ,. （2）， .平方可得：解得： 所以的面积.点睛：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解19.已知等差数列前项的和为，且 （1）求,;（2）设，求的前项的和为.【答案】（1），；（2） 【解析】分析】（1）分别令n1，2，得，即解得，求得，（2）分当n8和n8两种情
13、况进行讨论求解【详解】（1）由已知得，解得 由上知，又为等差数列，所以 , （2） 时， 时， 所以 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，求和公式，分类讨论思想，属于中档题20.如图，在中，点在线段上（1）若，的面积为，求边的长；（2）若，求三角形的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）由DB2DC得SABC3SADC，进而得 ，求得BC6，在ABC中，由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosABC即可；（2）在ABD中，由正弦定理得，得AD，进而得sin，利用面积公式求解即可【详解】（1），又，在三角形中， =，在中，由余弦定理得.（2）在中，由正弦定理得，又， , ,又 , 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查两角差的正弦公式，面积公式，考查了计算能力，属于中档题21.在中，内角，所对的边分别为，已知，. （1）当时，求的面积；（2）求的最大值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由得,展开整理得,讨论和,求面积即可（2）由正弦定理,将b+c表示为B的函数，得=,求最值即可【详解】（1）由条件得：，.时，时，.或.
