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1、不等式期末复习讲义一、 知识点1不等式性质比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法不等式的基本性质对称性：a bb a传递性: a b, b ca c可加性: a b a + c b + c 可积性: a b, c 0ac bc；a b, c 0ac b, c d a + c b + d 乘法法则：a b 0, c d 0 ac bd乘方法则：a b 0, an bn (nN)开方法则：a b 0, 2算术平均数与几何平均数定理：（1）如果a、bR,那么a2 + b2 2ab（当且仅当a=b时等号）（2）如果a、bR,那么（当且仅当a=b时等号）推广： 如果为实数，则重要结论1）如果积x
2、y是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2；（2）如果和xy是定值S，那么当xy时，和xy有最大值S2/4。3证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。4不等式的解法（1） 不等式
3、的有关概念同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项（2） 不等式ax b的解法 当a0时不等式的解集是x|xb/a； 当a0时不等式的解集是x|xb/a；当a=0时,b a f(x) a或f(x) a；| f(x) | a af(x) a(a0) f2(x) a2；| f(x) | 0) f2(x) |b|且abb，则|a|b| B、若ab，则1/ab，则a3b3D、若ab，则a/b12、已知
4、a0.1babab2 B、ab2abaC、abaab2 D、abab2a3、当0ab(1a)b B、(1+a)a(1+b)bC、(1a)b (1a)b/2 D、(1a)a(1b)b4、若loga3logb30，则a、b的关系是（ B ）A、0aba1C、0ba1 D、1bb0，则下列不等式1/ab2；lg(a2+1)lg(b2+1)；2a2b中成立的是（A ）A、B、C、D、（二）比较大小1、若0lg2xlg(lgx) 4、设a0,a1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法（作差）即可。（三）利用
5、不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件1、设x、yR,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系命题甲：x0且y0，命题乙：x+y0且xy0 充要条件命题甲：x2且y2，命题乙：x+y4且xy4充分不必要条件2、已知四个命题，其中a、bRa2b2的充要条件是|a|b|；a2b2的充要条件是|a|2|b|2；a2b2的充要条件是(a+b)与(ab)异号；a22c”的一个充分条件是（ C）A、ac或bc B、ac或bcC、ac且bcD、ac且bc（四）范围问题1、设60a84,28b33,求：a+b,ab,a/b的范围。2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1f(1)2,3f(1)3，求f
6、(2)的范围。（五）均值不等式变形问题1、当a、bR时,下列不等式不正确的是（ D）A、a2+b22|a|b| B、(a/2+b/2)2ab C、(a/2+b/2)2a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)log1/2(2|a|b|)2、x、y(0,+)，则下列不等式中等号不成立的是（ A） C、(x+y)(1/x+1/y)4 D、(lgx/2+lgy/2)2lg2x/2+lg2y/23、已知a0,b0,a+b=1，则(1/a21)(1/b21)的最小值为（ D）A、6B、7C、8D、91的代换4、已知a0,b0,c0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c95、已知a0,b0
7、,c0,d0,求证：（六）求函数最值1、若x4,函数5、大、62、设x、yR, x+y=5，则3x+3y的最小值是（）DA、10B、C、D、3、下列各式中最小值等于2的是（）DA、x/y+y/x B、 C、tan+cot D、2x+2x4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。5、已知x0,y0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。（七）实际问题1、98（高考）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的
8、乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。baBA解一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k0)据题设22b+2ab+2a=60(a0,b0)由a0,b0可得0a0)要求y的最小值，即要求ab的最大值。据题设22b+2ab+2a=60(a0,b0)，即a+2b+ab=30即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。2、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126米2
9、的厂房，工程条件是：建1米新墙的费用为a元；修1米旧墙的费用为a/4元；拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：利用旧墙的一段x(x14)米为矩形厂房的一面边长；矩形厂房的一面长为x(x14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？两种方案哪种方案最好？解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。若利用旧墙的一段x米(x14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为xa/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14x)a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+ 2126/x14)a元，故总费用当且仅当x12时等号成立，x12时ymin=7a(61)=35a。若利用旧墙的一段x米(x14)为矩形
