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1、褚兰中学2018届高三第一次摸底考试理科数学试题第卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1设集合Ay|y2x,xR,Bx|x210若pq为真命题,则p,q均为真命题16已知F是抛物线y24x的焦点,A,B是抛物线上两点,若AFB是正三角形,则AFB的边长为_三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关据统计,当X70时,Y460;X每增加10,Y增加5.已
2、知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表:近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率18(本小题满分10分)已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为2(cos),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线C2的
3、直角坐标方程;(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值19.(本小题满分12分)已知数列为公差不为0的等差数列,满足,且成等比数列.(1)求的通项公式;(2)若数列满足 ,且,求数列的前项和.20. (本小题满分12分)已知在四棱锥中,平面,是边长为的等边三角形,为的中点.(1)求证:;(2)若直线与平面所成角的正切值为,求二面角的大小.21.(本小题满分12分)如图,椭圆C:1(ab0)的右焦点为F,右顶点,上顶点分别为A,B,且|AB|BF|.(1)求椭圆C的离心率;(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OPOQ,求直线l的方程及椭圆C的方程22.(本
4、小题满分12分)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在3,)上为减函数,求a的取值范围褚兰中学2018届高三第一次摸底考试理科数学参考答案1.C 2.B 3.A4.C5.B6.B 7.C 8.C9.C10.A 11.B12.B 13.1214. 15. 16.84或8417.解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率(2)由已知可得Y425,故P(“发电量低于490
5、万千瓦时或超过530万千瓦时”)P(Y530)P(X210)P(X70)P(X110)P(X220).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.18.解:(1)2cos2(cos sin ),即22(cos sin ),可得x2y22x2y0,故C2的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)C1的普通方程为xy20,由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心,以为半径的圆,且圆心到直线C1的距离d,所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.19.(1)设等差数列的公差为(),由成等比数列可知,又,解得,.4分(2)由,得,当时, 8分对上式也成立, ,
6、 12分20.(1)因为是等边三角形,为的中点,所以.又因为平面,,可得平面,因为平面,所以;(4分)(2)如图,以点为坐标原点,所在直线分别为轴,过且与直线平行的直线为轴,建立空间直角坐标系.因为平面,所以为直线与平面所成的角.(6分)由题意得,即,故,于是, , , ,设平面与平面的法向量分别为,则由得,令,得,所以.同理求得, (10分)所以,则二面角的大小为.(12分)21.解:(1)由已知|AB|BF|,即a,4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2,e.(2)由(1)知a24b2,椭圆C:1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y22(x0),即2xy20.由
7、消去y,得x24(2x2)24b20,即17x232x164b20.3221617(b24)0,解得b.x1x2,x1x2.OPOQ,0,即x1x2y1y20,x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40.从而40,解得b1,满足b.椭圆C的方程为y21.22.解:(1)对f(x)求导得f(x),因为f(x)在x0处取得极值,所以f(0)0,即a0.当a0时,f(x),f(x),故f(1),f(1),从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y(x1),化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa,由g(x)0解得x1,x2.当xx1时,g(x
8、)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数由f(x)在3,)上为减函数,知x23,解得a,故a的取值范围为. 褚兰中学2018届高三第一次摸底考试理科数学 答题卡条 码 粘 贴 处姓名:_班级: 准考证号缺考标记考生禁止填涂缺考标记!只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。注意事项1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。2请将准考证条码粘贴在右侧的条码粘贴处的方框内。3选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写,字体工整。4请按题号顺序在
9、各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。5保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。6填涂样例 正确 错误 - 第I卷(请用2B铅笔填涂)1. A B C D 2. A B C D 3. A B C D 4. A B C D 5. A B C D 6. A B C D 7. A B C D 8. A B C D 9. A B C D 10. A B C D 11. A B C D 12. A B C D 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效第II卷(请在各试题的答题区内作答)13.(5分)_ 14.(5分)_15.(5分)_ 16.(5分)_