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1、合肥市2019高三第三次教学质量检测数学试题（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是实数集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合的补集再与集合进行交集运算。【详解】 即 故选。【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。2.已知是实数集，复数满足，则复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将化为 ，对其进行化简得到，利用共轭复数的性质得到 。【详解】可化为的共轭复数为故选C。【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复
2、数，使分母“实数化”。3.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案.【详解】输入，不成立，；，成立，跳出循环，输出.故选D.【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环.4.已知是等差数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列出关于的方程组并解出，即可求得的值.【详解】设等差数列的公差为.由题意得 解得所以.故选A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和.等差数列
3、的通项公式和前项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于的方程组来求.5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量（万件）单位成本（元/件）若根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出，将其代入线性回归方程，即可得出的值。【详解】 在线性回归方程上 则解得 故选B【点睛】解题的关键在于要知道一定在线性回归方程上，这种方法经常在选择题里面出现。6.若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，直线过定点 ，数
4、形结合得出，即可得出实数的取值范围。【详解】画出不等式组表示的平面区域,如下图所示直线过定点 要使得直线与不等式组表示的平面区域有公共点则.故选B【点睛】对于求斜率的范围的线性规划，过定点作直线与不等式组表示的平面的区域有公共点，从而确定斜率的范围。7.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】由条件利用 的图像变换规律，得到结论。【详解】把函数的
5、图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数，再将函数的图像上所有点向右平移个单位得到函数。故选A【点睛】解决本题的关键在于 的图像变换规律的掌握，要灵活运用，一般分为两种：（1）先相位变换再周期变换；（2）先周期变换再相位变换。8.若是从集合中随机选取两个不同元素，则使得函数是奇函数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率公式即可得出函数是奇函数的概率。【详解】从集合中随机选取的两个不同元素共有 种要使得函数是奇函数，必须都为奇数共有 种则函数是奇函数的概率为 故选B【点睛】对于古典概型求概率：可用事件A 包含的基本事件的个数和基本事件的总
6、数之比得出事件A的概率。9.已知直线与圆交于点，点在圆上，且，则实数的值等于（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】B【解析】【分析】由圆的性质可得出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数的值.【详解】由可得.在中，可得点到直线，即直线的距离为.所以，解得或.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便.10.已知是抛物线的焦点，抛物线上动点，满足，若，的准线上的射影分别为，且的面积为,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别利用、对应边成比例、抛物线过焦点的弦长公式联立求解即可得到。【
7、详解】过点A作轴的垂线垂足于C，交NB的延长线于点D。设，则.，即联立解得， 故选D【点睛】抛物线过焦点的弦长AB可用公式 得出。11.若存在两个正实数，使得等式成立（其中，是以为底的对数），则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对进行变形，将求的取值范围转化为求的值域，利用导数即可得出实数的取值范围。【详解】可化为 令 则， 函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减。即 ，则 故选C【点睛】求参数的范围可采用参数分离，再利用导数去得出函数的最值，从而得到参数的范围。12.如图，边长为1的菱形中， ，沿 将 翻折，得到三棱锥 ，则当三棱锥体积最大时，异面直
8、线 与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当三棱锥体积最大时，平面平面，取中点，连接，则平面，平面，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线 与所成角的余弦值。【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面，边长为1的菱形中，取中点，连接，则平面，平面，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系则，设异面直线 与所成角为即异面直线 与所成角的余弦值为故选D。【点睛】求异面直线所成的角，转化为两直线的方向向量的夹角，建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.二、填空题.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知，若，则_【答案】【解析】【分析】由
9、向量平行的坐标运算即可得出。【详解】，解得【点睛】若，平行或者共线，则。14.在的展开式中，的系数为_【答案】【解析】【分析】由二项式展开的通项公式确定，即可得到的系数。【详解】由题意可知，解得则的系数为【点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出，代回通项即可。15.已知函数，若对任意实数，恒有，则_【答案】【解析】【分析】对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，利用两角差的余弦公式得到。【详解】对任意实数，恒有则即，【点睛】本题的关键在于 “变角”将变为结合诱导公式，从
10、而变成正弦的二倍角公式。16.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于_【答案】【解析】【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 的余弦值，即可得出椭圆离心率。【详解】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，过作垂直于，连接， 交于点C设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 在中， ， 解得
11、 即 则椭圆的离心率 【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦之比，即。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列满足,，数列满足.（）求证数列是等比数列；（）求数列的前项和.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列（）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.【详解】解：（）当时，故.当时，则 ，数列是首项为，公比为的等比数列.（）由（）得， ， ，.【点睛】（）证明数列是等比数列可利用定义法 得出（）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。18.在第十五次
12、全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为的样本，其中城镇居民人，农村居民人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民人，农村居民人.（）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读不经常阅读合计（）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取位居民参加一次阅读交流活动，记这位居民中经常阅读的人数为，若用样本的频率作为概率，求随机变量的分布列和期望.附：，其中【答案】（）见解析；（）见解析【解析】【分析】（）根据题意填写列联表，利用公式求出，比较与的大小，即可得出有的把握认为，经常阅读与居民居住地有关。（）根据题意得的可能取值为0,1,2,3,4，利用二项分
13、布公式求出相应的概率，即可得出的分布列和期望。【详解】（）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读不经常阅读合计则 ，所以，有的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取人，抽到经常阅读的人的概率是，且，所以的分布列为：【点睛】解独立性检验题目基本步骤：（1）作出 列联表（2）求出的观测值 （3）通过临界值表读出相应概率（4）下结论19.已知：在四棱锥中，是的中点，是等边三角形，平面平面.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）分别证明和即可得出平面；（）以为空间坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面、平面的法向量、，利用得出二面角的余弦值。【详解】解：（）取的中点为，连结，设交于，连结.，四边形与四边形均为菱形， 为等边三角形，为中点平面平面且平面平面.平面且平面平面，分别为， 的中点 又 平面平面（）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，,.设平面的一法向量.由 .令，
