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1、合肥一六八中学2018/2019学年第二学期期中考试高二数学（理）试卷-凌志班一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】化简为代数形式，再根据复数几何意义确定选项.【详解】因为,对应点为，在第四象限，选D.【点睛】本题考查复数除法运算以及几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的
2、极值点.以上推理中()A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】【分析】使用三段论推理证明，我们分析出“对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点”，得出答案.【详解】对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点，所以大前提错误故选A【点睛】本题主要考查了三段论以及命题的真假，属于基础题.3.函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集得结果.详解：因为 ，所以因此单调递减区间为（0,1），选B.点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转
3、化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想.4.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )A. 6B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求可积区间，再根据定积分求面积.【详解】由,得交点为，所以所求面积为，选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.5.利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应増乘的因式是 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据“”变到“”变化规律确定选项.【详解】因为时，左边为,时左边为,因此应増乘的因式是，选D.点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析求解能力，属基本题.6.给出一个命题 ：若 ，且 ，则
4、， 中至少有一个小于零在用反证法证明 时，应该假设 ( )A. ， 中至少有一个正数B. ， 全为正数C. ， 全都大于或等于 D. ， 中至多有一个负数【答案】C【解析】【分析】根据否定结论得结果.【详解】， 中至少有一个小于零的否定为， 全都大于或等于 ，所以选C.【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基本题.7.三角形的面积为，（为三角形的边长，为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 ( )A. （为底面边长）B. （分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径）C. （为底面面积，为四面体的高）D. （为底面边长，为四面体的高）【答案】B【解析】【分析
5、】根据类比规则求解.【详解】平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化，因此四面体的体积为（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径），选B.【点睛】本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基本题.8.已知函数，则（ ）A. 在单调递增B. 在单调递减C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称【答案】C【解析】在单调递增 , 在单调递减,所以A,B错， ，所以的图象关于直线对称；所以C对，D错，因此选C.9.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】f（x）=+2ax，若f（x）在区间（，2）内存
6、在单调递增区间，则f（x）0在x（，2）有解，故a，有解； 令g（x）=，g（x）=在（，2）递增，g（x）g（）=2，故a2，故答案为：D。点睛：这个题目考查的是根据不等式有解求参的问题；常用的方法有：其一可以变量分离，转化为函数最值问题；其二直接构造函数，研究函数最值，使得函数的最值大于或者小于0；其三可以转化为方程有解的问题，研究方程的解的情况。10.设,，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先研究函数单调性，再比较大小.【详解】,令，则因此当时，即在上单调递减，因为，所以，选A.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.11.已知函数
7、图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义得导数，再解不等式得结果.【详解】由题意得，因此由得或，选D.【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.12.关于函数，下列说法错误的是A. 是的最小值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得恒成立D. 对任意两个不相等的正实数，若，则【答案】C【解析】,(0,2)上,函数单调递减,(2,+)上函数单调递增，x=2是f(x)的极小值点，即A正确；,函数在(0,+)上单调递减,x0,y+,函数有且只有1个零点，即B正确；,可得令则，令,则,(0,
8、1)上,函数单调递增,(1,+)上函数单调递减，在(0,+)上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数k,使得f(x)kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数,且,(0,2)上,函数单调递减,(2,+)上函数单调递增,若,则，正确。故选：C.点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.已知，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据定积分几何意义得结
9、果.【详解】因为表示半个单位圆（上半圆）的面积，所以【点睛】本题考查定积分几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知既成等差数列，又成等比数列，则的形状是_.【答案】等边三角形【解析】【分析】根据等差数列与等比数列解得关系，进而确定形状.【详解】由题意得，即的形状是等边三角形.【点睛】本题考查三个数成等差数列与等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.15.设为实数，若函数存在零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先令函数，并求出函数的定义域，对函数求导，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最小值，进一步求得结果.【详解】记函数，由题意得：，解得，所以函数的定义域为
10、：，在上恒成立，所以在上是减函数，且，所以函数的值域为：，要使函数有零点，只需在函数的值域范围内即可，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关将函数有零点转化为求函数的值域的问题，应用导数求得结果，属于中档题目.16.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，设切点分别是，所以切线方程分别为：，化简为，所以消，得令，所以f(x)在单调递减，填。【点睛】可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过
11、点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。三、解答题:共6大题，写出必要的解答过程.满分70分.17.已知复数（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值【答案】（）（）【解析】分析：（1）若z为纯虚数，实部为0，虚部不为0，求实数a的值；（2）求出z在复平面上对应的点的坐标，代入直线x+2y+1=0，求实数a的值详解：若z为纯虚数，则，且，解得实数a的值为2；在复平面上对应的点，在直线上，则，解得点睛：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是
12、实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数018.设数列的前项之积为，并满足.（1）求；（2）证明：数列为等差数列.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据积项与通项关系的递推关系式，逐一代入得；（2）先归纳猜想，再根据数学归纳法证明，最后根据等差数列定义证明结论.【详解】(1)因为，所以,相除得,所以 （2）猜测：，并用数学归纳法证明：当时，结论成立，假设当时结论成立，即,当时，,所以，综上，因此 ， ，所以数列为等差数列.点睛】本题考查数列通项公式、数学归纳法以及等差数列定义，考查基本分析论证与求解
13、能力，属中档题.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数与直线有三个不同交点，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求导数，根据导函数符号确定单调区间，（2）根据三次函数图象确定有三个不同交点所需满足条件，即得结果.【详解】（1）因为，所以当时，即函数单调减区间为，增区间为和，（2）由三次函数图象得当时，函数与直线有三个不同交点，即的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析求解能力，属中档题.20.（1）设是坐标原点，且不共线，求证：；（2）设均为正数，且.证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据
14、点到直线距离求高，再根据三角形面积公式的结果，（2）根据基本不等式进行论证.【详解】（1），B到直线OA距离为所以（2）因，所以，.【点睛】本题考查点到直线距离公式以及基本不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.21.已知函数 在处有极值. （1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围.【答案】()见解析 () 【解析】解：（）由题意知：2分令令的单调递增区间是单调递减区间是（-2，0）6分（）由（）知，为函数极大值，为极小值7分函数在区间-3，3上有且公有一个零点，即10分，即的取值范围是12分22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设的两个零点是，求证：.【答案】()答案见解析；()证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，求函数的导数，在定义域内讨论函数的单调性；（2）求出a=+x1+x2，问题转化为证明lnx1
