《复变函数与积分变换(西安交大_第四版)课后答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换(西安交大_第四版)课后答案（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题一解答 1 求下列复数的实部与虚部 共轭复数 模与辐角 1 i 23 1 2 i1 3i i 1 3 2i 5i24i3 4 i4ii 218 解 1 2i3 13 1 2i32i3 2i3 2i3 1 所以 13 3 i23 1 Re 13 2 2i3 1 Im 2i3 13 1 2i3 1 13 13 13 3 13 3 2i3 1 22 k 2 i23 1 arg i23 1 Arg 2 1 0 2 3 2 arctan kk 2 i 2 5 2 3 3i3 2 1 i i 1i1 i13i ii i i1 3i i 1 所以 2 3 i1 3i i 1 Re 2 5 i1 3i i
2、 1 Im 2 5 i 2 3 i1 3i i 1 2 34 2 5 2 3 i1 3i i 1 22 k 2 i1 i3 i 1 arg i1 i3 i 1 Arg 2102 3 5 arctankk 3 4 2i7i26 2i2i 2i5i24i3 2i 5i24i3 13i 2 7 2 26i7 所以 2 7 2i 5i24i3 Re 13 2i 5i24i3 Im 1 课后答案网 l3i 2 7 2i 5i24i3 2 295 2i 5i24i3 k k 2 7 26 arctan22 i2 i52i43 arg i2 i52i43 Arg 2 1 0 12 7 26 arctan k
3、k 4 ii141iii4ii4ii 104 10 2 4 2218 3i1i4i1 所以 3i4iiIm1 i4iiRe 218218 3i1i4ii 218 10 i4ii 218 2k 3i1arg2k i4iiargi4iiArg 218218 2 1 0 k2k arctan3 2 如果等式 i1 3i5 3yi1x 成立 试求实数 x y 为何值 解 由于 3i53i5 3i53yi1x 3i5 3yi1x 34 3y51x3i3y31x5 i1185y3xi43y5x 34 1 比较等式两端的实 虚部 得 341853 34435 yx yx 或 5253 3835 yx yx
4、解得11 1 yx 3 证明虚单位i有这样的性质 i i 1 i 4 证明 2 1 11 6 Re Im 22i zzz zzzzz z 2 课后答案网 证明 可设izxy 然后代入逐项验证 5 对任何 是否成立 如果是 就给出证明 如果不是 对那些 值才成立 z 2 zz 2 2 2 z 解 设 则要使成立有 izxy 2 zz 222 2ixyxyx y0 即 由此可得为实数 2222 xyxyxy z 6 当时 求的最大值 其中 n 为正整数 a 为复数 1 z azn 解 由于 a a z az nn 1 且当 n a ez arg i 时 有 a ea a eea z aa n n
5、a n 11 argiargi arg i 故为所求 1a 8 将下列复数化成三角表示式和指数表示式 1 i 2 1 3 1 3i 4 0isincos1 5 i1 2i 6 3 2 isin3cos3 isin5cos5 解 1 2 i e 2 isin 2 cosi 2 i eisin cos 1 3 3 i 2e 3 isin 3 cos2 2 3 i 2 1 23i1 4 2 1 cosisin2sini2sincos2sinsinicos 222222 0 e 2 2sin 2 isin 2 cos 2 2sin 2 i 5 2 1 i 2 1 2i1i12i 2 1 i1 2i 4
6、 isin 4 cos2 4 i e2 6 2 23 i5i3i10i9i19 3 cos5isin5 e ee ee cos3isin3 3 课后答案网 isin19cos19 9 将下列坐标变换公式写成复数的形式 1 平移公式 11 11 xxa yyb 2 旋转公式 11 11 cossin sincos xxy yxy 解 设 11 iAab 11 izxy1 izxy 则有 1 2 1 zzA i 11 cosisin ezzz 10 一个复数乘以 i 它的模与辐角有何改变 解 设复数 则 z ezz Argi 2 Argi 2 i Argi z z z eeeziz 可知复数的模不
7、变 辐角减少 2 11 证明 并说明其几何意义 222 121212 2 zzzzzz 2 证明 22 121212121212 1122 22 12 2 2 zzzzzzzzzzzz z zz z zz 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和 12 证明下列各题 1 任何有理分式函数 P z R z Q z 可以化为iXY 的形式 其中X与Y为具 有实系数的x与的有理分式函数 y 2 如果 R z为 1 中的有理分式函数 但具有实系数 那么 iR zXY 3 如果复数iab 是实系数方程 1 011 0 nn nn a za zaza 的根 那么也是它的根 iab 证
8、1 Re Im P zP z Q zP z Q zP z Q z R z Q zq x yq x yQ z Q z 2 ii P zP zP z R zX Q zQ zQ z YXY 3 事实上 1 011 nn nn P za za zaza 4 课后答案网 zPzazazaa n n 2 210 13 如果 试证明 it ez 1 nt z z n n cos2 1 2 nt z z n n sini2 1 解 1 nteeee z z n n sin2 1 intintintint 2 nteeee z z n n sini2 1 intintintint 14 求下列各式的值 1 5
9、i3 2 6i1 3 6 1 4 3 1 i1 解 1 6 5i 5 6 i 5 5 322 2 i 2 3 2i3 ee 5 5 32 cosisin16 316i 66 2 6 6 6 i 43 i 2 1i 1 i22e8e8i 22 3 1 i 21 6i 2 6 6 1ee 0 1 2 3 4 5 kk k 可知 6 1 的 6 个值分别是 2 i 2 3 e 6i ie 2i 2 i 2 3 ei 65i 2 i 2 3 e 6i7 i 23i e 2 i 2 3 411i e 4 0 1 2 2 2 1 2 1 3 3 1 3 1 3 1 kee k 2 4 i 64i 22 i
10、 i 可知的 3 个值分别是 1 3 1 i 12 7 sini 12 7 cos22 12 sini 12 cos22 612 7i6 62 i6 e e 4 5 sini 4 5 cos22 64 5i6 e 15 若 1 i 1 i nn 试求n的值 5 课后答案网 解 由题意即 i 4i 4i 4i 4 2e 2e ee nnnn sin 0 4 n 故4 0 1 2 nk k 16 1 求方程的所有根 08 3 z 2 求微分方程08 yy的一般解 解 1 1 i1 2 3 3 82 k ze k 0 1 2 即原方程有如下三个解 3i1 2 3i1 2 原方程的特征方程有根08 3
11、 i31 1 2 2 i 31 3 故其 一般形式为 xCxCeeCy xx 3sin3cos 32 2 1 17 在平面上任意选一点 然后在复平面上画出下列各点的位置 z 1 11 z zz z zz o x y z z z z 1 z 1 z 1 z 18 已知两点与 或已知三点 问下列各点位于何处 1 z 2 z 321 zzz 1 21 2 1 zzz 2 21 1zzz 其中 为实数 3 321 3 1 zzzz 解 令1 2 3i kyxz kkk 则 1 2 i 2 2121 yyxx z 知点 z 位于与连线的中点 1 z 2 z 6 课后答案网 2 122122 iyy yx
12、x xz 知点位于与连线上定比 1 z 2 z z z z z 12 1 处 3 321321 3 i 3 1 yyyxxxz 由几何知识知点 z 位于的重心 处 321 zzz 19 设三点适合条件 123 z zz0 321 zzz 1 321 zzz 证明z1 z2 z3是内接于单位圆1 z的一个正三角形的顶 点 证 由于1 321 zzz 知的三个顶点均在单位圆上 321 zzz 因为 2 33 1zz 3 z 212322112121 zzzzzzzzzzzz 2121 2zzzz 所以 1 2121 zzzz 又 122122112121 2 21 zzzzzzzzzzzzzz 3
13、2 2121 zzzz 故 3 21 zz 同理3 3231 zzzz 知 321 zzz 是内接于单位圆1 z 的一个正三角形 20 如果复数z1 z2 z3满足等式 32 31 13 12 zz zz zz zz 证明 321312 zzzzzz 并说明这些等式的几何意义 由等式得 arg arg arg arg 32311312 zzzzzzzz 即 231312 zzzzzz 又因为 12 32 3213 3112 13 12 zz zz zzzz zzzz zz zz 又可得 123312 zzzzzz 所以知 321 zzz 是正三角形 从而 321312 zzzzzz 7 课后答
14、案网 21 指出下列各题中点 z 的存在范围 并作图 1 5 2 z 61 i 2 z 3 Re 2 1z 4 3iRe z 5 i i zz 6 4 1 3 zz 7 Im 2z 8 1 2 3 z z 9 0argz xxy 见下图 j 8 课后答案网 x y 2 b O i x5 a y O 3 d y 3i x O c x y z i i y x i 3 2 O y 5 2x x y x 1 i y O e f g h i 2i j 22 描出下列不等式所确定的区域 并指是有界的还是无界的 闭的还是开的 单连的还是多连的 1 2 0Im z41 z 3 1Re0 z 4 23z 5 3
15、1 zz 6 1arg1z 9 课后答案网 7 141 10 2i 2i 4zzzz 解 1 0Im z y O x 不包含实轴的上半平面 是无界的 开的单连通区域 2 41 z x y 5 O 1 圆的外部 不包括圆周 是无界的 开的多连通区域 16 1 22 yz 3 01Re xzz y 1 D O x 直线 x 1 右边的平面区域 不包括直线在内 是无界的 开的单连通的区域 6 1arg1z x y o 1 由射线1 及 1构成的角形域 不包括两射线在内 即为一半平面 是 无界的 开的单连通区域 7 22 2 178 141 1515 zzxy O x D 8 15 17 15 y 1
16、1 课后答案网 中心在点 15 17 z 半径为 15 8 的圆周的外部区域 不包括圆周本身在内 是无 界的 开的多连通区域 8 2 2 zz 6 x y o3 5 是椭圆 22 1 95 xy 及其围成的区域 是有界的 闭的单连通区域 9 22 4 2 2 141 0 15 zzxyx D 1 2 y x 是双曲线 22 4 4 15 xy1 的左边分支的内部区域 是无界的 开的单连通区域 10 22i i 4zzzz x y o 2 1 12 课后答案网 是圆9及其内部区域 是有界的 闭的单连通区域 23 证明 z 平面上的直线方程可以写成 22 2 1xy Czaza a 是非零复常数 C 是实常数 证 设直角坐标系的平面方程为将CByAx i 2 1 Im 2 1 Rezzzyzzzx 代入 得 CzBAzBA i 2 1 i 2 1 i 2 1 BA令a 则 2 1 a iBA 上式即为Czaza 24 证明复平面上的圆周方程可写成 0 zzzzc c 其中 为复常数 为实常数 22 2 0za zaRzzazazaaR 其中c实证 aaR 为 常数 25 求下列方程 t 是
