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1、哈工大机械优化设计方案第一章 引言1.1优化设计的背景在人类活动中，要办好一件事（指规划、设计等），都期望得到最满意、最好的结果或效果。为了实现这种期望，必须有好的预测和决策方法。方法对头，事半功倍，反之则事倍功半。优化方法就是各类决策方法中普遍采用的一种方法。历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了一套变分方法。六
2、十年代以来，最优化技术进入了蓬勃发展的时期，主要是近代科学技术和生产的迅速发展，提出了许多用经典最优化技术无法解决的最优化问题。为了取得重大的解决与军事效果，又必将解决这些问题，这种客观需要极大地推动了最优化的研究与应用。另一方面，近代科学，特别是数学、力学、技术和计算机科学的发展，以及专业理论、数学规划和计算机的不断发展，为最优化技术提供了有效手段。现在，最优化技术这门较新的科学分支目前已深入到各个生产与科学领域，例如：化学工程、机械工程、建筑工程、运输工程、生产控制、经济规划和经济管理等，并取得了重大的经济效益与社会效益。1.2机械优化设计的特点传统设计者采用的是经验类比的设计方法。其设计
3、过程可概括为“设计分析再设计”的过程，即首先根据设计任务及要求进行调查，研究和搜集有关资料，参照相同或类比现有的、已完成的较为成熟的设计方案，凭借设计者的经验，辅以必要的分析及计算，确定一个合适的设计方案，并通过估算，初步确定有关参数；然后对初定方案进行必要的分析及校核计算；如果某些设计要求得不到满足，则可进行设计方案的修改，并再一次进行分析及较和计算，如此反复，直到获得满意的设计方案为止。这个设计过程是人工试凑与类比分析的过程，不仅需要花费较多的设计时间，增长设计周期，而且只限于在少数几个候选方案中进行比较。优化设计具有常规设计所不具备的一些特点。主要表现在两个方面：1) 优化设计能使各种设
4、计参数自动向更优的方向进行调整，直至找到一个尽可能完善的或最合适的设计方案，常规设计虽然也能找到比较合适的设计方案，但都是凭借设计人员的经验来进行的。它既不能保证设计参数一定能够向更优的方向调整，同时也不可能保证一定能找到最合适的设计方案。2) 优化设计的手段是采用电子计算机，在较短的时间内从大量的方案中选出最优的设计方案，这是常规设计所不能相比的。机械优化设计是把数学规划理论与计算方法应用于机械设计，按照预定的目标，借助于电子计算机的运算寻求最优设计方案的有关参数，从而获得好的技术经济效果：1) 可以降低机械产品成本，提高它的性能；2) 优化设计过程中所获得的大量数据，可以帮助我们摸清各项指
5、标的变化舰律，有利于对今后设计结果作出正确的判断，从而不断提高系列产品的性能；3) 用优化设计方可合理解决多参数、多目标的复杂产品设计问题。1.3优化设计的模型设计优化问题中有n个设计变量为 （1）要求在可行区域内寻找晟优点，使目标函数达到最小值，即 （2）中可行区域D由不等式约束条件 （3）所确定。上述优化设计的数学摸型可表述为： （4）机械优化设计中，大多数是约束非线性规划问题。建立数学模型非常重要，如设计变量选择不当，目标函数与实际追求的目标有差距，约束条件考虑不周到，都会导致设计失败。通常选择一种解精度较高(即与实验结果较吻合)，数学上表达比较方便的方法。在此基础上构造初步数学模型(设
6、计变量和约束条件取少一些)经计算后与试验结果作比较，逐步地进行修改和完善：(1)设计变量的确定：在机械优化设计中涉及的参数很多，可以先把他们全部列出来，然后再逐个分析，确定独立变量和非独立变量。设计变量越多，设计精度越高，但计算过程越复杂。(2)确定目标函数：目标函数的选择具有很大的灵活性，因为它与约束条件是可以置换的。目标函数越多，对设计的评价越全面，坦计算也就越复杂。在机械产品优化设计中，不应片面强调高性能，而忽视了生产的经济教益。(3)确定约束条件：约束条件大致上可分为两大类：工作性能约束条件和几何尺寸约束条件。在列约束条件时，应注意变量的数量级不要相差太大，不然会造成约束条件敏感程度不
7、同。1.4优化设计的流程优化设计是一个系统工程的任务，全过程一般可概括为：1) 根据设计要求和目的定义优化设计问题；2) 建立优化设计问题的数学模型；3) 选用合适的优化计算方法；4) 确定必要的数据和设计初始点；5) 编写包括数学模型和优化算法的计算机程序，通过计算机的求解计算获取最优结构参数；6) 对结果数据和设计方案进行合理性和适用性分析。其中，最关键的是两个方面的工作是首先将优化设计问题抽象成优化设计数学模型，通常简称它为优化建模；然后选用优化计算方法及其程序在计算机上求出这个模型的最优解，通常简称它为优化计算。优化设计数学模型是用数学的形式表示设计问题的特征和追求的目的，它反映了设计
8、指标与各个主要影响因素（设计参数）间的一种依赖关系它是获得正确优化结果的前提。由于优化计算方法很多，因而它的选用是一个比较棘手的问题，在选用时一般都遵循这样的两个原则：一是选用哪种适合于模型计算的方法；二是选用哪种已有计算机程序，且使用简单和计算稳定的方法。图1给出了优化设计工作的一般流程。图1 工程优化设计计算流程图第二章优化设计方法的分类优化设计的类别很多，从不同的角度出发，可以得出不同的分类。机械优化设计是通过优化方法确定机构、零件、部件乃至整个机械系统的最佳参数和结构尺寸，从而使机械产品达到最佳性能，其数学模型一般包含以下3个要素：设计变量，即在优化过程中经过逐步调整，最后达到最优值的
9、独立参数，其个数就是优化设计问题的维数。目标函数，反映设计变量间的相互关系，可以直接用来评价方案的好坏，根据其个数，优化设计问题可分为单目标优化问题和多目标优化问题。约束条件，是设计变量间或设计变量本身应该遵循的限制条件，按表达方式可分为等式约束和不等式约束，按性质分为性能约束和边界约束，按作用可分为起作用约束和不起作用约束!针对优化设计数学模型要素的不同情况，可将优化设计方法分类如下：1）按约束情况，可分为无约束优化设计方法和约束优化设计方法。2）按维数，可分为一维优化设计方法和多维优化设计方法。3）按目标函数的多少，可分为单目标优化设计方法和多目标优化设计方法。4）按寻优途径，可分为数值法
10、、解析法、图解法、实验法和情况研究法。5）按优化设计问题能否用数学模型表达，可分为：能用数学模型表达的优化设计问题（其寻优途径为数学方法，如数学规划法、最优控制法等）； 难以抽象出数学模型的优化设计问题（如总体方案优化、结构形式优化等，多采用经验推理、方案对比、人工智能、专家系统等方法寻优）下面我们就最常见的按约束情况分类来进一步谈论具体的优化方法。2.1无约束优化设计方法2.1.1梯度法算法：由于梯度法是以负梯度方向作为搜索方向，所以称为梯度法，又称为最速下降法。梯度法是一个求解极值问题的古老算法，早在1847年就已有柯西（Cauchy）提出。梯度法的优点是：直观，简单；缺点是：由于它采用了
11、函数负梯度方向作为下一步的搜索方向，所以收敛速度较慢，越是接近极值点收敛越慢；应用：应用梯度法可以使目标函数在开头几步下降很快，所以它可与其它无约束优化方法配合使用。特别是一些方法都是在对它改进后，或在它的启发下获得的，因此梯度法仍然是许多有约束和无约束优化方法的基础。2.1.2牛顿型方法算法：其中f(x)在处的海赛矩阵，该迭代方法称为牛顿方法。牛顿法的优点是：速度比梯度法快；缺点是：由于每次迭代都要计算函数的二阶导数矩阵，并对该矩阵求逆，因此计算量大且需要大的计算机存储空间。针对梯度法收敛速度比牛顿法慢，而牛顿法又存在上述缺点，近年来人们又提出了改进算法，如针对梯度法提出只用梯度信息，但比梯
12、度法收敛速度快的共轭梯度法；针对牛顿法提出了变尺度法。2.1.3共轭梯度法算法：搜索方向，函数梯度的修正因子，所用目标函数信息是一阶导数。共轭梯度法是共轭方向法中的一种，因为在该方向中的每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而够造出来的，所以称作共轭梯度法，又称为旋转梯度法。共轭梯度法是1964年由弗来彻（Fletcher）和里伍斯（Reeves）两人提出的。此法的优点是：程序简单，存储量少，具有梯度法的优点，而在收敛速度上比梯度法快，具有二次收敛性。2.1.4变尺度法算法：搜索方向，是变尺度矩阵，函数梯度的修正因子，所用目标函数信息是一阶导数使。对变尺度法改进为DFP算法，该算法是无约束优
13、化方法中最有效的方法之一，因为它不单纯是利用向量传递信息，还采用矩阵来传递信息。DFP算法由于摄入误差和一位搜索不精确，有可能导致奇异，而使数值稳定性方面不够理想。所以1970年提出更稳定的算法公式，称为BFGS算法。1970年黄从共轭条件出发对变尺度法做了统一处理，写出了统一公式并取 2.2约束优化设计方法求解约束优化的方法称为约束优化方法。约束优化方法根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法。直接法主要有随及方向法、复合形法、可行方向法、广义简约梯度法，间接解法有惩罚函数法和增广乘子法。2.2.1直接解法基本思路：直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，其基本思路是在m个不等式约束条件
14、所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜索方向d，且以适当的步长，沿d方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，满足收敛条件后，迭代终止。每次迭代计算均按以下基本迭代格式进行直接解法的特点是： 由于整个求解过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，都可以获得一个比初始点好的设计点。若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可保证获得全域最优解。否则，因存在多个局部最优解，当选择的初始点不相同时，可能搜索到不同的局部最优解。要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。原理简单，方法实用。
15、l 随机方向法基本思想：随机方向法是一种原理简单的直接解法。它的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向，记作d。从初始点出发，沿d方向以一定的步长进行搜索，得到新点x，新点x应该满足约束条件：，且，至此完成一次迭代。然后，将起始点移至x，即令x。重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。特点：是对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单，使用方便。由于可行搜索方向是从许多随机方向中选择的使目标函数下降最快的方向，加之步长还可以灵活变动，所以此算法的收敛速度比较快。若能取得一个较好的初始点，迭代次数可以大大减少。它是求解小型机械优化设计问题的一种十分有效的算法。可行方向法 是求解非线性规划问题的常用方法。其典型策略是,从可行点出发,沿着下降的可行方向进行搜索,求出使目标函数值下降的新的可行点。算法的主要步骤是选择搜索方向和确定沿此方向的步长,搜索方
