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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编第九章 直线、平面、简单几何体三 空间角与距离【考点阐述】异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离直线和平面垂直的性质平面的法向量点到平面的距离直线和平面所成的角向量在平面内的射影平行平面的判定和性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定和性质【考试要求】（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理【考题分类】（一）选择题（共7题）1.（北京卷理4文7）若正四棱柱的底面边
2、长为1，与底面成60角，则到底面的距离为 （ ）A B1 C D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，如图，故选D.2.（湖北卷文6）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=900,ACC1=600,BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】过顶点A作底面ABC的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长.3.（江西卷文9）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为. . 截面 . . 异面直线与所成
3、的角为【解析】由，可得，故正确；由可得截面，故正确； 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的，故选.4.（全国卷理10文11）已知二面角为600 ，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。（同理10）解:如图分别作 ，连 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，又当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.（全国卷理5文5）已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为A. B. C. D. 解：令则,连 异面直线与所成的角即与所成
4、的角。在中由余弦定理易得。故选C6.（四川卷理5文6）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是. .平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. 直线平面 .【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。解析2：设低面正六边形边长为，则，由平面可知，且，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选D。7.（浙江卷理5）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的
5、中心，则与平面所成角的大小是 ( )A B C D 答案：C 【解析】取BC的中点E，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有（二）填空题（共2题）1.（上海卷理5文5）如图，若正四棱柱的底面连长为2，高为4，则异面直线与AD所成角的大小是_（结果用反三角函数表示）.【答案】 【解析】因为ADA1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即A1D1B，由勾股定理，得A1B2，tanA1D1B，所以，A1D1B。2.（四川卷理15文15）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考
6、查异面直线的夹角，基础题。解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。法2：取BC中点N，连结，则面，是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。（三）解答题（共30题）1.（安徽卷理18）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本
7、小题满分13分。解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD 的平面角。由， ，得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由，得（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与
8、直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD，P为垂足。因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而由得。又因为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故四棱锥H-ABCD的体积2.（北京卷理16）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论
9、证能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】
10、如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （），w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，E为PC的中点，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，.与平面所成的角的大小.（）同解法1.3.（北京卷文16）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象
11、能力、运算能力和推理论证能力（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， O，E分别为DB、PB的中点， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.4.（福建
12、卷理17）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.A（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.5.（福建卷文20）如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： w.w.w.k.s.5.u.
13、c.o.m （）求三棱锥的侧面积。解析:（I）证明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（）解：由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 综上，三棱锥的侧面积，6.（广东卷理18）如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影zyxE1G1（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，
