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1、4 5 三角函数的性质 高考要求 了解正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 考点回顾 定义域 R R 2 kxRxx kxRxx 值域 1 1 1 1 R R 周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调区间 增区间 kk2 2 2 2 kk2 2 kk 2 2 减区间 无 kk2 2 3 2 2 kk2 2 对称轴 无 2 kx kx 对称中心 以上均 0 k 0 2 k 0 2 k Zk 考点训练 考点 1 三角函数性质 1 定义域 值域 最值 EG1 当 x时 函数 f x sinx cosx 的值域是 2 2 3 A 1 2 B 1 C 2 2 D 1 2 2 1 B
2、1 1 函数y 的最大值是 xxcossin2 1 A 1 B 1 C 1 D 1 2 2 2 2 2 2 2 2 B1 2 函数的最大值是xxy 2 cos22sin A B C 3 D 2 12 12 B1 3 设函数上的最小值为 4 那 2 0 2sin3cos2 2 在区间为实常数aaxxxf 么a的值等于 A 4 B 6 C 4 D 3 B1 4 函数的最大值为 cos sinsin2xxxy A B C D 221 12 2 B1 5 的最大值是baxfxxbxax 2cos sin2 1 cos 2 0 则 A B 1C D 2 3 2 2 考点 2 三角函数性质 2 单调性 奇
3、偶性 周期性 对称性 EG2 下列四个函数中 在区间 0 1 上为增函数的是 A B y sinx C D y arccosxxy 2 log x y 2 1 B2 1 下列函数中 既为偶函数又在 0 上单调递增的是 A y tan x B y cos x C D 2 sin xy 2 cot x y B2 2 在下列给定的区间中 使函数 y sin x 单调递增的区间是 4 A 0 B C D 0 4 4 2 2 B2 3 函数的单调递减区间是 xy2 3 sin3 EG3 函数上的偶函数 则 Rxy是 0 sin A 0 B C D 4 2 B3 1 理 函数y 5sin x 是偶函数的充
4、要条件是 A 2k k Z Z B k k Z Z C 2k k Z Z D k k Z Z 2 2 2 3 2 B3 2 使函数是奇函数 且在 上是减函数的 2cos 3 2sin xxxf 4 0 的一个值是 A B C D 3 3 2 3 4 3 5 B3 3 函数的最小正周期为 sin3 coscos3 sinxxxxy EG4 函数 f x cos2x 2sinxcosx 的最小正周期是 3 B4 1 函数的最小正周期是 2 sin x y A B C 2 D 4 2 B4 2 若 f x sinx 是周期为 的奇函数 则 f x 可以是 A sinx B cosx C sin2x
5、D cos2x B4 3 定义在 R 上的函数既是偶函数又是周期函数 若的最小正周期是 且当 xf xf 时 则的值为 2 0 xxxfsin 3 5 f A B C D 2 1 2 1 2 3 2 3 B4 4 函数 y 2sin cos asinx x R 的图象关于 x 对称 则 g x asin a 1 4 2 x 4 2 x 8 x 的最小正周期是 B4 5 下列函数中周期为 2 的是 A B C D 1cos2 2 xy xxy 2cos2sin 32 tan xyxxy cossin B4 6 是函数 的最小正周期为的1 aaxaxy 22 sincos A 充分不必要条件 B
6、必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也非必要条件 EG5 函数 y sinx cosx 的最小正周期是 期图象的相邻两条对称轴之间的距离是 B5 1 函数 y 2sin 4x 的图象与 x 轴的交点中 离原点最近的一点的坐标是 3 2 B5 2 函数 y sin 2x 的图象的一条对称轴方程是 2 5 A x B x C x D x 2 4 8 4 5 B5 3 给定性质 最小正周期为 图象关于直线 x 对称 则下列四个函数中 同时具 3 有性质 的是 A y sin B y sin 2x C y sin x D y sin 2x 2 x 6 6 6 B5 4 已知函数f x sin 2
7、x 的图象的一个对称中心是 0 则绝对值最小的 的值 6 为 A B C D 6 3 3 3 2 方法归纳 1 求三角函数的定义域实质就是解三角不等式 组 一般可用三角函数的图象或三角函数线 确定三角不等式的解 列三角不等式 既要考虑分式的分母不能为零 偶次方根被开方数大 于等于零 对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1 又要考虑三角函数本身的定义域 2 求三角函数的值域的常用方法 化为求代数函数的值域 化为求 的值域 化为关于 或 的二次函数式 sin yAxB sin xcosx 3 三角函数的周期问题一般将函数式化为 其中为三角函数 yAfx f x 0 4 三角函数的奇偶性的判别主要
8、依据定义 首先判定函数的定义域是否关于原点对称 当函 数的定义域关于原点对称时 再运用奇偶性定义判别 5 函数的单调区间的确定 基本思路是把看作一个sin yAx 0 0 A x 整体 运用复合函数的单调规律得解 6 比较三角函数值的大小 利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值 再利用单调性比较大小 7 最值 1 认真观察函数式 分析其结构特征 确定类型 2 根据类型 适当地进行三角恒等变形或转化 这是关键的步骤 3 在有关几何图形的最值中 应侧重于将其化为三角函数问题来解决 实战训练 1 函数的最小正周期是 2 sin x y A B C D 2 2 4 2 函数的最大值是x
9、xy 2 cos22sin A B C 3D 212 12 3 已知函数 则下列命题正确的是 1 2 sin xxf A 是周期为 1 的奇函数B 是周期为 2 的偶函数 xf xf C 是周期为 1 的非奇非偶函数D 是周期为 2 的非奇非偶函数 xf xf 4 下列函数中同时具有性质 1 最小正周期是 2 图象关于对称 3 x 3 在 上是增函数的是 6 3 A B C D 6 2 sin x y 3 2cos xy 6 2sin xy 6 2cos xy 5 函数在下面哪个区间内是增函数xxxysincos A B C D 2 3 2 2 2 5 2 3 3 2 6 给出下面的 3 个命
10、题 1 函数的最小正周期是 2 函数 3 2sin xy 2 2 3 sin xy 在区间上单调递增 3 是函数的图象的一条对称轴 2 3 4 5 x 2 5 2sin xy 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 7 函数 在区间上是增函数 且 sin0f xMx a b 则函数在区间上 f aMf bM cosg xMx a b A 是增函数 B 是减函数 C 可以取得最大值 M D 可以取得最小值 M 8 若函数的周期与函数的周期相等 则实数 0 sin2 2 xxf 2 tan x xg 9 甲 函数是奇函数 xx xx y cossin cossin 乙 若 则必为 xxco
11、s1sin2 2 tan x 2 1 丙 函数的值域为 2 sin 2 cos cos xx x y 2 2 丁 则 0 ab a b babaarctansincossin 22 以上命题中真命题的个数为 10 函数的最小正周期是 函数 f x 在f xxxx sin sin cos 66 区间 上的最小值是 22 11 已知函数则 的最小正周期 sincossin2cos 44 xxxxxf xf 的最大值 最小值 xf 12 已知函数的最大值为 其最小正 0 0 2 1 cossincos 2 axxxaxf 2 2 周期为 则实数a 与 曲线y f x 的对称轴方程 及其对称中心的坐标
12、 13 已知 f x 2cos2x sin2x a a R a 为常数 3 若 x R 求 f x 的单调增区间 若 x 0 时 f x 的最大值为 4 求 a 的值 并 2 指出此时 f x 的图象可由 y sin x 的图象经过怎样的变换而得到 14 已知函数 f x tgx xx 2 cos 2 cos3 求 f x 的定义域 判断函数 f x 的奇偶性 并说明理由 实战训练答案 1 A 2 A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 C 8 9 10 2 1 0 23 11 12 a 1 1 13 f x 的单调增区间 2 2 T22 0 82 zk k 为 k k k Z a 1 14
13、f x 的定义域为 x x Z且x k Z f x 是偶函 3 6 2 k 数 直击高考 1 2005 全国卷 理 当时 函数的最小值为 2 0 x x xx xf 2sin sin82cos1 2 A 2 B C 4 D 3234 2 2005 全国卷 理 函数 f x sin x cos x 的最小正周期是 A B C D 2 4 2 3 2005 全国卷 理 已知函数 y tan 在 内是减函数 则 x 2 2 A 0 1 B 1 0 C 1 D 1 4 2005 北京卷理 函数 f x 1 cos2 cos x x A 在上递增 在上递减 0 22 33 2 22 B 在上递增 在上递
14、减 3 0 22 3 2 22 C 在上递增 在上递减 3 2 22 3 0 22 D 在上递增 在上递减 33 2 22 0 22 5 2005 浙江卷理 已知 k 4 则函数 y cos2x k cosx 1 的最小值是 A 1 B 1 C 2k 1 D 2k 1 6 2005 江西卷理 设函数为 3sin 3sin xfxxxf则 A 周期函数 最小正周期为B 周期函数 最小正周期为 3 2 3 C 周期函数 数小正周期为D 非周期函数 2 7 2005 山东卷理 函数 若 则的所有可 0 01 sin 1 2 xe xx xf x 2 1 affa 能值为 A 1 B C D 2 2
15、1 2 2 2 2 1 8 2006 年福建卷 已知函数在区间上的最小值是 则 2sin 0 f xx 3 4 2 的最小值等于 A B C 2 D 3 2 3 3 2 9 2006 年安徽卷 设 对于函数 下列结论正确的是0a sin 0 sin xa f xx x A 有最大值而无最小值 B 有最小值而无最大值 C 有最大值且有最小值 D 既无最大值又无最小值 10 2006 年全国卷 II 函数 y sin2xcos2x 的最小正周期是 A 2 B 4 C D 4 2 11 2005 辽宁卷 是正实数 设是奇函数 若对每个实 cos xxfS 数 的元素不超过 2 个 且有使含 2 个元
16、素 则的a 1 aaS a 1 aaS 取值范围是 12 2005 上海卷文 函数的最小正周期 T xxxycossin2cos 13 2005 湖北卷文 函数的最小正周期与最大值的和为 1cos sin xxy 14 2006 年上海春卷 已知函数 2 cos2 6 sin2 xxxxf 1 若 求函数的值 2 求函数的值域 5 4 sin x xf xf 15 2005 辽宁卷第 18 题 本小题满分 12 分 如图 在直径为 1 的圆 O 中 作一关于圆心对称 邻边互相垂直的十字形 其中 0 xy 将十字形的面积表示为的函数 为何值时 十字形的面积最大 最大面积是多少 16 2005 广东卷第 15 题 化简并 2 3 sin 32 2 3 16 cos 2 3 16 cos ZkRxxx k x k xf 求函数的值域和最小正周期 xf 17 2005 江西卷文第 18 题 已知向量 baxf xx b xx a 42 tan 42 sin 2 42 tan 2 cos2 令 求函数 f x 的最大值 最小正周期 并写出 f x 在 0 上的单调区间 经典回顾 1 已知函数的定
