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1、用心 爱心 专心 高二数学高二数学导数的概念导数的概念苏教版苏教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 导数的概念 二 教学目的 1 理解导数的概念 学会求函数在一点处的导数的方法 2 掌握导数的几何意义 理解导数与瞬时变化率的关系 教学重点 教学重点 导数的定义与求导数的方法 教学难点 教学难点 导数概念的理解 通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念 三 内容梳理 1 曲线的切线 如图 设曲线 c 是函数 yf x 的图象 点 00 P xy是曲线 c 上一点 作割线 PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P 割线 PQ 无限地趋近于某一极限位置 PT 奎屯 王新敞 新疆我们
2、 就把极限位置上的直线 PT 叫做曲线 c 在点 P 处的切线 y f x x y Q MP x O y 2 确定曲线 c 在点 00 P xy处的切线斜率的方法 因为曲线 c 是给定的 根据解析几何中直线的点斜式方程的知识 只要求出切线的斜 率就够了 设割线 PQ 的倾斜角为 切线 PT 的倾斜角为 既然割线 PQ 的极限位置上 的直线 PT 是切线 所以割线 PQ 斜率的极限就是切线 PQ 的斜率 tan 即 0 x 时 0 f xxf x x A y x 一个常数 tan 3 瞬时速度定义 运动物体经过某一时刻 某一位置 的速度 叫做瞬时速度 4 确定物体在某一点 A 处的瞬时速度的方法
3、 从 t0到 t0 t 这段时间是 t 时间 t 足够短 就是 t 无限趋近于 0 当 t 0 时 平均速度就越接近于瞬时速度 瞬时速度 00 0 s tts t tv t 时 用心 爱心 专心 5 导数的定义 设函数 xfy 在 0 xx 处附近有定义 当自变量在 0 xx 处有增量 x 时 则函数 yf x 相应地有增量 00 xfxxfy 如果0 x时 y 与x 的比 x y 也叫函数的平均变化率 有极限 即 x y 无限趋近于某个常数 我们 把这个极限值叫做函数 xfy 在 0 xx 处的导数 记作 0 xx y 即 00 0 0 f xxf x xfx x 当时 注意 1 函数应在点
4、 0 x的附近有定义 否则导数不存在 2 在导数的定义式中 x 趋近于 0 可正 可负 但不为 0 而y 可能为 0 3 x y 是函数 xfy 对自变量x在x 范围内的平均变化率 它的几何意义是过 曲线 xfy 上点 00 xfx 及点 00 xxfxx 的割线斜率 4 导数 0 fx是函数 xfy 在点 0 x处的瞬时变化率 它反映函数 xfy 在 点 0 x处变化的快慢程度 6 导数的几何意义 是曲线 xfy 上点 00 xfx 处的切线的斜率 奎屯 王新敞 新疆因此 如果 xfy 在点 0 x可 导 则曲线 xfy 在点 00 xfx 处的切线方程为 00 0 xxxfxfy 说明 1
5、 导数是一个局部概念 它只与函数 xfy 在 0 x及其附近的函数值有关 与x 无关 2 在定义式中 设xxx 0 则 0 xxx 当x 趋近于 0 时 x趋近于 0 x 因此 导数的定义式可写成 当 x 0 时 000 0 0 f xxf xf xf x xofx xxx 当时 3 若极限 00 0 f xxf x x x 时 不存在 则称函数 xfy 在点 0 x处不 可导 4 若 xf在 0 x可导 则曲线 xfy 在点 00 xfx 有切线存在 反之不然 若曲线 xfy 在点 00 xfx 有切线 函数 xfy 在 0 x不一定可导 并且 若 函数 xfy 在 0 x不可导 曲线在点
6、00 xfx 也可能有切线 用心 爱心 专心 7 导函数 导数 如果函数 xfy 在开区间 ba内的每点处都有导数 此时对于 每一个 bax 都对应着一个确定的导数 xf 从而构成了一个新的函数 xf 称这个函数 xf为函数 xfy 在开区间内的导函数 简称导数 也可记作 y 即 xf y 0 yf xxf x x xx 时 f x 函数 xfy 在 0 x处的导数 0 xx y 就是函数 xfy 在开区间 ba bax 上导数 xf在 0 x处的函数值 即 0 xx y 0 xf 奎屯 王新敞 新疆所以函数 xfy 在 0 x处的导数也记作 0 xf 注意 1 导数与导函数都称为导数 这要加
7、以区分 求一个函数的导数 就是求导 函数 求一个函数在给定点的导数 就是求导函数值 它们之间的关系是函数 xfy 在 点 0 x处的导数就是导函数 xf在点 0 x的函数值 2 可导 如果函数 xfy 在开区间 ba内每一点都有导数 则称函数 xfy 在开区间 ba内可导 奎屯 王新敞 新疆 8 求函数 xfy 的导数的一般方法 1 求函数的改变量 xfxxfy 2 求平均变化率 x xfxxf x y 3 逼近 得导数 x x f xx f lim x y lim x f y 0 x0 x 典型例题典型例题 例例 1 求 y x2在点 x 1 处的导数 解 解 y 1 x 2 12 2 x
8、x 2 x xx x y 2 2 2 x 当0 x 时 x y 2 x 2 y x 1 2 注意 x 2括号别忘了写 例例 2 已知 y x 求 y 用心 爱心 专心 分析 分析 求函数在一点的导数 与求函数在一个区间上的导数 方法是一样的 也是三 个步骤 只是把 x0换成 x 解 解 y xxx x xxx x y 0 yxxxxxx x xxxxxx 当时 11 2xxxx 点评 点评 求函数的导数也主要是求极限的值 所以极限是求函数的导数的基础 求极限 的一些基本方法不能忘掉 变式 变式 已知 y x3 2x 1 求 y y x 2 解 解 y x x 3 2 x x 1 x3 2x 1
9、 x3 3x2 x 3x x 2 x 3 2x 2 x 1 x3 2x 1 x 3 3x x 2 3x2 2 x x y x 2 3x x 3x2 2 x y x 2 3x x 3x2 2 y 3x2 2 方法一 方法一 y 3x2 2 y x 2 3 22 2 10 方法二 方法二 y 2 x 3 2 2 x 1 23 2 2 1 x 3 6 x 2 10 x x y x 2 6 x 10 x y x 2 6 x 10 当0 x 时 得 y x 2 10 点评 点评 如果题目中要求 y 那么求 y x 2时用方法一简便 如果只要求 y x 2 用方法二比较简便 例例 3 1 求曲线 y x2
10、在点 1 1 处的切线 2 求曲线 y x2过点 1 0 处的切线 解 解 1 由上知 y x 1 2 切线方程为 y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 2 由上知在切点 x0 x02 处的导数为 0 xx y 2x0 切线方程为 y 2 0 x 2x0 x x0 又过点 1 0 x1 x2x0 00 2 0 用心 爱心 专心 0 x0 2x0 k 0 或 k 4 当 k 0 时 0y 1x 0y 当 k 4 时 4x4y 1x 4y 切线方程为 y 0 或4x4y 例例 4 已知曲线 C y x3 3x2 2x 直线 l y kx 且 l 与 C 切于点 x0 y0 x0 0 求 直线
11、l 的方程及切点坐标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 解 由 l 过原点 知 k 0 0 x y x0 0 点 x0 y0 在曲线 C 上 y0 x03 3x02 2x0 0 0 x y x02 3x0 2 y 3x2 6x 2 k 3x02 6x0 2 又 k 0 0 x y 3x02 6x0 2 x02 3x0 2 2x02 3x0 0 x0 0 或 x0 2 3 由 x 0 知 x0 2 3 y0 2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 8 3 k 0 0 x y 4 1
12、l 方程 y 4 1 x 切点 2 3 8 3 例例 5 水波的半径以 50cm s 的速度向外扩张 求当半径为 250cm 时 水波面的圆面积的 膨胀率是多少 解 解 s 222 r rr2r rr 222 2 2 050 srrrrrr srr rr ttt r tcm s t 解 当无限趋近于时 无限趋近于 从而 当半径为 250cm 时 圆面积的膨胀率为 2 250 50 25000 cm2 s 变式 一汽球的半径以 2cm s 的速度膨胀 用心 爱心 专心 1 半径为 5cm 时 表面积对于时间的变化率是多少 2 半径为 8cm 时 体积对于时间的变化率是多少 1 解 解 222 r
13、 4rr8r4 rr 4s 222 14 484 84 02 srrrrrr srr rr ttt r tcm s t 解 当无限趋近于时 无限趋近于 从而 当半径为 5cm 时 球面积的膨胀率为 8 5 2 80 cm2 s 2 解 解 r r r3 r r3 3 4 r rr 3 4 v 32233 33223 222 44 2 3 3 33 4 33 3 02 vrrrrrrrr vrrr rrrr tttt r tcm s t 解 当无限趋近于时 无限趋近于 从而 当半径为 8cm 时 球面积的膨胀率为 4 3 3 64 2 512 cm3 s 模拟试题模拟试题 满分 100 分 时间
14、 60 分钟 一 选择题 每题 5 分共 30 分 1 物体做直线运动的方程为 tss 则10 4 s表示的意义是 A 经过 4s 后物体向前走了 10m B 物体在前 4s 内的平均速度为 10m s C 物体在第 4s 内向前走了 10m D 物体在第 4s 时的瞬时速度为 10m s 2 在曲线 y 2x2 1 的图象上取一点 1 1 及邻近一点 1 x 1 y 则 x y 等于 A 4 x 2 x2 B 4 2 x C 4 x x2 D 4 x 3 若曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 2x y 1 0 则 A f x0 0B f x0 0 时 y x 3 则1 x xxx x y 奎屯 王新敞 新疆 6 当 x 0 时 y x 8 1 x xxx x y 10 y 0 1 0 1 x x 奎屯 王新敞 新疆 15
