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1、高二数学双曲线知识精讲一. 本周教学内容：2.2 双曲线 1、双曲线及标准方程 2、双曲线的几何性质二. 教学目的1、掌握双曲线的定义、标准方程的推导和标准方程。2、理解双曲线的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单的问题，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。三. 教学重点、难点1、重点：双曲线的定义和标准方程；双曲线的几何性质及初步应用。2、难点：双曲线的标准方程的推导、双曲线定义中常数加以限制的原因；双曲线的离心率、渐近线的理解及应用。四. 知识分析1、双曲线的定义：在平面内，与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2|且大于零）的点（记为M）的轨迹（或集合）叫做双
2、曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。用符号表示为（常数）说明：（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形。（2）作为到这两个定点的距离的差的绝对值的“常数”。（记为2a）必须满足（设）这个条件。若不然当时，表示线段的垂直平分线；当时表示两条射线，即线段与的反向延长线；当时，无轨迹。（3）注意定义中的关键词“绝对值”，事实上若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支，完整的双曲线是两支。（4）下面我们对双曲线进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的一条对称轴与双曲线的交点记为A1，A2，于是我们易得| A1A2|的值
3、就是。2、双曲线的标准方程：（1）双曲线的标准方程的推导：双曲线的标准方程的推导采用的还是求曲线方程的一般步骤，在这个过程要注意：双曲线的方程的推导可以参考椭圆的标准方程的推导过程；与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程，是从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数（与椭圆不同，这个常数要大于0且小于|F1F2|）的点 M 的轨迹”这个双曲线的定义出发，推导出它的标准方程。推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程；但关于坐标适合方程的点都在双曲线上，同椭圆一样，教材中未加证明。同椭圆一样，我们教材中对的化简整理过程也是通过移项后经过两次平方，这里不再介绍了，同学们可以参照课本上来推
4、导。根据双曲线定义求双曲线的标准方程，思想方法与推导过程和椭圆完全类似。但应注意椭圆标准方程的推导中，是令；而在双曲线标准方程的推导过程中，是令，a ， b ， c之间的关系与椭圆中不同，不要搞混。引入不仅是化简的需要，而且还有实际的几何背景，2b就是虚轴的长。（2）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的双曲线标准方程分别为：相同点是：形状相同、大小相同；都有 a 0，b 0，。（a，b大小不确定）不同点是：两种双曲线相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个双曲线的焦点坐标为（c，0）和（c，0）， 第二个双曲线的焦点坐标为（0，c）和（0，c）。双曲线的焦点在 x 轴上标准方程
5、中x2项的系数为正数，y2项的系数为负数；双曲线的焦点在 y 轴上标准方程中y2项的系数为正数，x2项的系数为负数。（3）另外，形如中，只要A ， B 异号，C0就是双曲线方程，它可以化为。例如，方程就是双曲线方程，它可以化为标准方程，这时。（4）在学习过程中，同学们可抓住双曲线与椭圆标准方程的异同，列表进行对比，掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别和联系：3、双曲线的几何性质（1）双曲线的范围 由双曲线的标准方程，可得。当时，才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值。要讲清在直线x = a ， x = a之间没有图象，当x的绝对值无限增大时，y的绝对值也无限增大，所以曲线是无限伸展的
6、，不像椭圆那样是封闭曲线。（2）双曲线的对称性 双曲线的对称性与椭圆完全相同，也是既关于x轴对称，也关于y轴对称，还关于原点呈中心对称。（3）双曲线的顶点 双曲线有两个顶点（a，0），（一a，0）。当x = 0时，方程y 2 = b 2无实数根，所以它与y轴无交点，2b是双曲线的虚轴的长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这与椭圆不同。（4）双曲线的渐近线 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形。椭圆是封闭曲线，没有渐近线，而双曲线有两条渐近线，做出双曲线的渐近线就完全地掌握双
7、曲线的变化趋势。学习双曲线的渐近线时，应注意以下问题：要明确双曲线的渐近线是哪两条直线。过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线，画双曲线时，应先画出它的渐近线。要理解“渐近”两字的含义。当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.要掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的求法，简单且实用的方法是：把标准方程中的“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线的渐近线方程为即；双曲线
8、的渐近线方程为即；要掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法。简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方程为Axy = 0 ，那么双曲线的方程为 (AxBy)( AxBy) = m，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定。（5）双曲线的离心率 与椭圆一样，我们把比值叫做双曲线的离心率，椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据。由于，当e的值从接近于1逐渐增大时，的值就从接近于0逐渐增大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，就是说双曲线的“张口”逐渐增大。（6）椭圆与双曲线的标准方程和图形、性质对比表如下：例1. 设是双曲线的
9、左右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离为9，求点到的距离。解析：由及 得：1或17由双曲线方程知右支的顶点到的距离为10，可知，说明点在左支上，此时，因此，点到的距离为17。点评：此类问题的设计，其答案可能有一解，也可能有两解，注意根据双曲线的特征来判断。例2. 求与双曲线 共渐近线且过 点的双曲线方程及离心率。 解析：解法一：双曲线 的渐近线方程为： （1）设所求双曲线方程为 ， 在双曲线上 由，得方程组无解（2）设双曲线方程为 ， 在双曲线上， 由得：，所求双曲线方程为：且离心率解法二：设与双曲线 共渐近线的双曲线方程为： 点在双曲线上，所求双曲线方程为：，即 点评：（1）很显然，解法二
10、优于解法一。（2）不难证明与双曲线共渐近线的双曲线方程。一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程 求双曲线方程较为方便。通常是根据题设中的另一条件确定参数 。例3. 中心在原点，一个焦点为 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为 ，求双曲线标准方程。解析：设双曲线的标准方程为，则，解得为所求双曲线的标准方程。点评：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧。例4. 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点 且离心率为 的双曲线标准方程。解析：设所求双曲线方程为： ，则 ， ， ，所求双曲线方程为 点评：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即
11、离心率 时双曲线为等轴双曲线（即实轴长和虚轴长相等的双曲线），它的证明如下：因为双曲线的离心率 。 ， ， ， ， ， 双曲线是等轴双曲线（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等。例5. 求以曲线 和 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程。解析： ，或 ，渐近线方程为 当焦点在轴上时，由 且，得。所求双曲线方程为当焦点在 轴上时，由，且 ，得。所求双曲线方程为点评：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握。（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐
12、近线的双曲线系方程去解，请同学们自行完成。例6. 过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。解析：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则， ，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和。点评：（1）利用直线和双曲线的方程组成的方程组的解的个数来讨论它们的交点的个数，是我们讨论曲线交点的一般方法，要注意讨论二次项系数为0的情况；（2）用图象去判断直线的条数，可以知道：和渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点。例7. （1）求直线被双曲线截得的弦长
13、；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。解析：（1）由得得（*）设方程（*）的解为，则有 得，（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，由得（*）设方程（*）的解为，则 ，且，得或。方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：， 即， 即（图象的一部分）点评：（1）弦长公式；（2）要掌握有关中点弦问题的两种处理方法，一是先设出方程，然后用韦达定理解决；二是用平方差法。例8. 过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。解析：设双曲线的方程为，渐近线，则过的直线方程为，则代入得即得
14、 即得到点评：离心率问题的解决，就是先根据条件找出的关系，然后利用离心率的定义解决。一、选择题： 1、中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的方程为 （ ）A、 B、C、 D、2、已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为 （ ）A、3 B、5 C、6 D、93、双曲线的渐近线的方程为 （ ）A、 B、 C、 D、4、已知方程表示双曲线，则的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、5、以椭圆的焦点为焦点，离心率为2的双曲线的方程为 （ ）A、 B、 C、 D、6、已知是双曲线的两个焦点，是过点且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，若，则双曲线的离心率为 （ ）A、 B、 C、 D、7、过点（0，1）且斜率为1的直线与双曲线的公共点的个数为 （ ）A、0
