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1、几何概型使用说明：此教案旨在帮助教师理解几何概型的基础上设置的，从概念的分析，到例题的设置需要教师花心思针对学生情况重新组织，很多例题需要配套使用，效果更好。一正确区分古典概型与几何概型题组一：1在区间0，10上任意取一个整数，则不大于3的概率为： 。2在区间0，10上任意取一个实数，则不大于3的概率为： 。分析：此题组中，问题1因为总的基本事件是0，10内的全部整数，所以基本事件总数为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为。问题2中，因为总的基本事件是0，10内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事
2、件对应区间0，10长度为10，而事件“不大于3”对应区间0，3长度为3，所以所求概率为。此题组中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题1中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题2中的总基本事件是无限个，属于几何概型；可见古典概型与几何概型有联系也有区别，但在实际解决问题中，关键还在于正确区分古典概型与几何概型。二准确分清几何概型中的测度题组二：1等腰RtABC中，C=900，在直角边BC上任取一点M，求CAM300的概率。 2等腰RtABC中，C=900，在CAB内作射线交线段BC于点M，求CAM300的概率。ACBMACBM分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，
3、但是考察的测度不一样。问题1的测度定性为线段长度，当CAM0=300时，合条件的点M等可能的分布在线段上，所以所求概率等于。而问题2的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在CAB内，CAB=450，所以所求概率等于。 此题组中的两个问题都是几何概型的问题，但是选取的测度不一样，在解决时考察和计算的结果也不一致。可见在解决几何概型问题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题。知识巩固：下列概率问题中哪些属于几何概型？(1)从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。(2)随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。(3)箭
4、靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？ (4)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。对比古典概型和几何概型的特点，判断（1）、（3）属于古典概型；（2）、（4）属于几何概型。例题1： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟的概率是多大？1）这是什么概型，为什么？(几何概型）2）借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件？（圆或线段）3）该如何建立数学模型？ 解：设A=“等待时间不超过10分钟”,则或某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音
5、机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A，则；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。问题拓展：某人午觉醒来，发现表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？分析：本题的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用上题中的时间长度之比来解决，得到错误的答案。学生错误的原因在于没有科学
6、的认识题中的变量。本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在0，60内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在0，60内的任意时刻。所以本题的解决应以轴和轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是，从而可以绘制坐标轴，数形结合，得到结果。xyO556060由于的所有可能结果是边长为60的正方形，差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示，记“差异不超过5分钟”为事件因此,差异不超过5分钟的概率。例题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm。
7、运动员在70m外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 1、抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为2.1的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获大奖. 不少人被高额奖金所吸引，纷纷参与此游戏但很少有人得到奖品，请用今天所学知识解释这是为什么。分析：若中奖，金币圆心必位于右图的绿色区域A内.圆心随机地落在“阶砖”的任何位置，所以这是一个几何概型。其概率为a aAS 练习：面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一
8、枚半径ra的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率。a-r2a分析：首先可以判定此试验为几何概型，我们为了描述每一次随机试验的结果只需要确定硬币中心O的位置即可，一旦中心位置确定，只要当中心O到其最近平行线的距离大于其半径时，就满足事件A,由此不难想到由中心O向靠的的最近的平行线引垂线，垂足为M,显然线段OM长度是介于0到a之间的一个实数，接下来我们做一条长度为a的线段，因此这个实数在此线段上就对应着一个点，从而我们每做一次随机试验就可以理解为在此线段上取一个点，所以这条线段就可以理解为区域,其长度为a。接下来我们再来看事件A所理解的区域，首先看一种临界状态，就是当硬币与平行
9、线相切时，此时中心O到最近平行线的距离r,显然只有当中心O到最近平行线的距离大于r时满足事件A,所以事件A理解的区域其长度应为ar,所以 2、抽奖游戏的再思考: 在两种情况下分别求抽中电视机的概率是多少?(1)如果在转盘上，区域1缩小为一个单点，那么要求概率是多少？(2)如果在转盘上，区域1扩大为整个转盘扣除一个单点，那么所求概率又是多少？总结：用几何概型解释概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定为必然事件。3、甲乙两人相约在14：0015：00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相等的，先到的的等20分钟后便可以离开，试求两个人会面的概率。6002
10、00分析：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约600200定地点的时间，则两人能会面的充要条件为x-y20，如图所示。故所求概率为阴影面积与正方形面积之比。练习：一条直线型街道的A、B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C、D，顺序为A、C、D、B. 问A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率是多少？解： 设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米.则所有可能结果为：；记A与C、B与D之间的距离都不小于40米为事件A，则事件A的可能结果为.如图所示，试验全部结果构成区域为直线 与两坐标轴所围成的ABC. 而事件A所构成区域是三条直线，所夹中间的阴影部分.根据几何概型公式，得到：所以，A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率为。5爱心 用心 专心
