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1、2007届高三数学复习 圆锥曲线【教学内容】 椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系及椭圆的应用。【教学目标】 1、熟练掌握椭圆的定义：到两定点的距离之和等于定长（大于两定点间的距离）的点的轨迹，并能灵活地运用定义来解决有关问题。 2、熟练掌握中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆标准方程、（ab0）及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程及离心率、长轴长、短轴长、焦距的计算。 3、能运用图象法，判别式法来判断直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问题。【知识讲解】 例1、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点A（3，0），求椭圆的
2、方程。 分析 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上，那么椭圆的方程一定是标准形式，但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴，还是在y轴上，因此要分两种情形来讨论。 解：1若焦点在x轴上，设椭圆的方程为，把点A（3，0）代入得则a2=9，b2=1，所以所求椭圆方程为。 2若焦点在y轴上，设椭圆的方程为同理可得a2=81，b2=9，此时椭圆的方程为。 例2、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程。 解：若椭圆的焦点在x轴上，如图，四边形B1F1B2F2是正方形，且A1F1=，由椭圆的几何意义可知，
3、解之得：，此时椭圆的方程为，同理焦点也可以在y轴上，综上所述，椭圆的方程为或。 例3、椭圆的焦点分别是F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A、B两点，若ABF2的面积是20，求直线方程。 解：由椭圆的对称性可知，设点A的坐标为（x1，y1），则，又由条件可知a2=45，b2=20，则c=5，|y1|=4，代入椭圆可知x1=3，直线AB的方程为。 例4、底面直径为12cm的圆柱被与底面成30的平面所截，截口是一个椭圆，求这个椭圆的长、短轴长及离心率。 解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，由题意可知，b=R=6，又因为截面与底面所成角等于30，则，椭圆的长轴长为8，短轴长为12， 离心率。 例
4、5、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线，斜率为，又设d为原点到直线的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：为定值。 分析 根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0e1）的点的轨迹是椭圆，椭圆上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离|PF1|=a+ex1，到右焦点F2的距离|PF2|=a-ex1；同理椭圆上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。 解：由椭圆方程可知a2=2，b2=1则c=1，离心率，由焦半径公式可知，。又直线的方
5、程为：即x1x+2y1y-2=0，由点到直线的距离公式知，又点（x1，y1）在椭圆上，2y12=2=x12，为定值。 例6、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。 解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，a=2，c=1，点M到椭圆左准线的距离，或，这与x1-2，0)相矛盾，满足条件的点M不存在。 例7、直线：6x-5y-28=0交椭圆（ab2）于B、C两点，A（0，b）是椭圆的一个顶点，而ABC的重心与椭圆的右焦点F重合，求椭圆的方程。 解：设BC的
6、中点D（x0，y0）, F（c，0）,由定比分点公式可知，,，又点D在直线上，又设B（x1，y1）、C（x2，y2）则 两式相减得：，代入得：，2a2-5bc=0 又a2=b2+c2由、可得c=2或。当c=2时，代入得b=4，则a2=20，当时，舍去。所求椭圆的方程为。 例8、已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点A的坐标。 分析：若直线y=kx+b与圆锥曲线f（x，y）=0相交于两点P（x1，y1）、Q（x2、y2），则弦PQ的长度的计算公式为，而，因此只要把直线y=kx+b的方程代入圆锥曲线f（x，y）=0方程，消去y（或x）
7、，结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 解：设A（x0，0）（x00），则直线的方程为y=x-x0，设直线与椭圆相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0， x2+2y2=12，则，即x02=4，又x00，x0=2，A（2，0）。 例9、已知椭圆（ab0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。 解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O（0，1），半径r=3。 设正方形的边长为p，则，又O是正方形ABCD的中心，O到直线y=
8、x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。 （1）设AB：y=x-2 由 y=x-2 CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0 得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，a2=12，b2=4，椭圆的方程为。 （2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得，此时b2a2（舍去）。综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。 例11、曲线2x2+y2=2a2（a0）与连结A（-1，1），B（2，3）的线段没有公共点，求a的取值范围。 解：（1）若A、B在椭圆外部，则方程2x2+y2=2a2与直线AB的方程
9、2x-3y+5=0组成的方程组无实数解，由 消去y得 22x2+20x+25-18a2=0无实数解，令解得。 （2）若A、B两点都在椭圆内部，显然交点B在椭圆上时是线段AB与椭圆有公共点的最大椭圆此时可解得，时，椭圆与线段AB无公共点，故所求a的取值范围是或。 例12、AB是椭圆（ab0）中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：为定值。 解：设A（x1，y1）B（x2，y2），又点A、B在椭圆上，则为定值。 说明：若一条动直线与椭圆相交于两个点A、B，我们常常采用“设点法”设出点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标，然后把点的坐标代入椭圆的方程， 两式相减即可得到
10、x1+x2，y1+y2及x1-x2，y1-y2的关系了，往往可以简化计算，达到很理想的效果，这种“设而不求”的解题思想在解析几何中有着广泛的应用，我们在学习时要充分注意。 例13、求以直线为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN端点的轨迹方程。 分析 已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合a、b、c的几何意义即可。 解：设M（x，y），过M作于A，又过M作轴于O，因为点M为短轴端点，则O必为椭圆中心，化简得y2=2x，短轴端点的轨迹方程为y2=2x（x0）。 例1
11、4、椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1相交于A、B两点，C是AB的中点，若，O为坐标原点，OC的斜率为，求a、b的值。 解：直线OC的方程为：， ， C又,点A、B为直线y=x+1与圆的两个交点。解方程组可得，又点A、B在椭圆ax2+by2=1上，所以 例15、已知椭圆（ab0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若，求证：离心率；（2）若，求证：的面积为。 分析：的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此，|F1F2|=2c，所以我们应以为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。 证明：（1）在中，由正弦定理可知，则 （2）在中
12、由余弦定理可知。 例16、过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入椭圆方程得：，即，此时 令直线的倾角为，则即OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。【每周一练】 一、选择题 1、如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则离心率e为 A. B. C. D. 2、已知椭圆的焦参数（焦点到相应的准线的距离）为p，5、4分别为椭圆的长半轴，短半轴的长，则p的值为 A. B. C. D. 3、曲线与曲线之间具有的等量关系是 A. 有相等的长、短轴 B. 有相等的焦距 C. 有相等的离心率 D. 有相同的准线 4、P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，若F1PF2=30，则F1PF2的面积等于 A. B. C. D. 16 5、设一动点P到直线x=5的距离与它到点A（1，0）的距离之比为，则动点P的轨迹方程是 A. B. C. D. 6、焦
