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1、1 一 多元函数的极值 二 最值应用问题 三 条件极值 9 8 9 9多元函数的极值及条件极值 2 一 多元函数的极值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 极小值 例如 在点 0 0 有极小值 在点 0 0 有极大值 在点 0 0 无极值 极大值和极小值 统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 的某邻域内有 3 说明 使偏导数都为0的点称为驻点 例如 定理1 必要条件 函数 偏导数 证 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 取得极值 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点 有驻点 0 0 但在该点不取极值 且在该点取得极值 则有 存在 故 4 时 具有极值 定理2 充分条件 的某邻
2、域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 5 例1 求函数 解 第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 求二阶偏导数 6 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 7 例2 讨论函数 及 是否取得极值 解 显然 0 0 都是它们的驻点 在 0 0 点邻域内的取值 因此z 0 0 不是极值 因此 为极小值 正 负 0 在点 0 0 并且在 0 0 都有 可能为 8 例 最小二乘
3、法 在实际问题中 常常要从一组观测数据 xi yi i 1 n 出发 预测函数y f x 的表达式 从几何上看 就是由给定的一组数据 xi yi 去描绘曲线y f x 的近似图形 这条近似的曲线称之为拟合曲线 要求这条拟合曲线能够反映出所给数据的总趋势 参看下图 作曲线拟合有多种方法 其中最小二乘法是常用的一种 它是根据实际数据采用一种 直线拟合 的方法 也就是用线性函数来作逼近 9 假定所给的数据点 xi yi 的分布大致成一条直线 设它的方程为 y ax b 其中系数a b待定 将xi代入直线方程 得 这与实测到的值yi有偏差 称 a b 为平方总偏差 现在求a b 使得平方总偏差 达到最
4、小 则所得直线y ax b就是所给数据的最佳拟合直线 作偏差的平方和 10 由极值的必要条件 有 于是得到a b所满足的方程 由此方程组解出a b 则y ax b就是所要求的直线方程 11 二 最值应用问题 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 假设f可微 边界上的最值点 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点P时 为极小值 为最小值 大 大 依据 12 例3 解 设水箱长 宽分别为x ym 则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 的有盖长方体水箱 问当长 宽 高各取怎样的尺寸时 才能使用料最
5、省 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点 即当长 宽均为 高为 时 水箱所用材料最省 13 例4 有一宽为24cm的长方形铁板 把它折起来做成 解 设折起来的边长为xcm 则断面面积 一个断面为等腰梯形的水槽 倾角为 积最大 为 问怎样折法才能使断面面 14 令 解得 由题意知 最大值在定义域D内达到 而在域D内只有 一个驻点 故此点即为所求 15 三 条件极值 极值问题 无条件极值 条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 例如 16 方法2拉格朗日乘数法 如方法1所述 则问题等价于一元函数 可确定隐
6、函数 的极值问题 极值点必满足 设 记 例如 故 故有 17 引入辅助函数 辅助函数F称为拉格朗日 Lagrange 函数 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 18 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 例如 求函数 下的极值 在条件 19 例5 要设计一个容量为 则问题为求x y 令 解方程组 解 设x y z分别表示长 宽 高 下水箱表面积 最小 z使在条件 水箱长 宽 高等于多少时所用材料最省 的长方体开口水箱 试问 20 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的 长 宽为高的2倍时 所
7、用材料最省 因此 当高为 思考 1 当水箱封闭时 长 宽 高的尺寸如何 提示 利用对称性可知 2 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 欲使造价 最省 应如何设拉格朗日函数 长 宽 高尺寸如何 提示 长 宽 高尺寸相等 21 内容小结 1 函数的极值问题 第一步利用必要条件在定义域内找驻点 即解方程组 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 2 函数的条件极值问题 1 简单问题用代入法 如对二元函数 2 一般问题用拉格朗日乘数法 22 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值 解方程组 第二步判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步找目标函数 确定定义域 及约束条件
8、 3 函数的最值问题 在条件 求驻点 23 已知平面上两定点A 1 3 B 4 2 试在椭圆 圆周上求一点C 使 ABC面积S 最大 解答提示 设C点坐标为 x y 思考与练习 则 24 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知 点C与E重合时 三角形 面积最大 点击图中任意点动画开始或暂停 25 备用题1 求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者 解 设内接三角形各边所对的圆心角为x y z 则 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 解方程组 得 故圆内接正三角形面积最大 最大面积为 26 为边的面积最大的四边形 试列出其目标函数和约束条件 提示 目标函数 约束条件 答案 即四边形内接于圆时面积最大 2 求平面上以
