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1、2007届高三数学复习 三角函数续【教学内容】 三角函数【教学目标】 1、学习三角函数，首先要牢固掌握三角函数的定义、性质、图象等基础知识，并熟练掌握和、差、倍、半以及和差化积、积化和差公式。 2、要熟练掌握三角函数的定义，三角函数值的符号，掌握同角三角函数的三种关系及诱导公式，并能运用它求任意角的三角函数值。3、熟练掌握基本三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx的定义域；并能结合代数函数定义域的求法，求出与三角函数有关的函数的定义域。了解单位圆中的正、余弦线，并用它来求简单三角不等式的解集。4、三角函数的单调区间是定义域的子集，应在确定定义域后再求出单调区间；而比较三
2、角函数值的大小，通常是转化为在同一单调区间的两个同名函数值的大小比较问题。5、了解周期函数及最小正周期的意义，会计算y=Asin(x+)或可以化为此类型的三角函数的周期；掌握由y=sinx到y=Asin(x+)的图象的变换方法，并能用“五点法”作出y=Asin(x+)在一个周期内的图象。6、熟练掌握y=sinx,y=cosx,y=asinx+bcosx的值域；能通过三角变换把三角函数的值域问题转化为代数最值问题，采用观察法、配方法、反函数法、基本不等式法及数形结合法等方法来计算。【知识讲解】 例1：是第二象限角，其终边上一点P（x，），且cos=x，求sin的值。 解：OP= cos=x 又是
3、第二象限角 x0。解法二：而 cos6sin61 lg(cos6sin6)0。例5：求函数y=tan的最小正周期。解：y=tan 最小正周期T=。例6：求函数的定义域。分析：与代数函数类似，在三角函数求定义域中，我们仍然是从分母不为零，偶次根式的被开方数大于或等于零，对数的底数大于零且不等于，真数大于零出发去计算；在遇到最简单的不等式如sinxa,sinxa中求X的范围时，我们应注意充分运用单位圆中的正弦线或余弦线来求，这样就可以避免利用图象求交集时容易发生的错误。解：1 log22 2 kZ例7：求函数的定义域。分析：这里的关键是如何求区间4X4与sinx0的解集的交集。sinx0的解集是一
4、些不连续的区间的并集，要找交集我们可以借助于数轴这一工具，从数轴上去找公共部分。这种方法在计算复杂的函数的定义域时常常用到。解：由16x20 得到4X4由sinx0 知 x(2k，2k+) kZ 所以原函数的定义域为 例8：已知 比较sin、tan的大小； 比较cos、cos（sin）、sin（cos）的大小。 分析：这里要比较sin、tan的大小，显然不能直接运用三角函数的单调性，此时我们应注意到在弧度制中，圆的弧长L=R,其中为圆心角的弧度数,R为圆的半径,而sin、tan又均可以用单位圆中的有向线段来表示,有向线段的数量就表示角的正弦值和正切值.这样我们就把问题转化为比较线段及弧的长度的
5、大小了.而它们的大小则可以借助于图形面积间关系来证明,从而使问题得以解决。 证明：设角的终边与单位圆相交于P,过P作PMOX于M,则sin=MP,又设单位圆与X轴正向交于一点A,过A作单位圆的切线,交OP的延长线于点T ,则tan=AT,又劣弧的长等于,连接PA, 即：sintan。0/2 0cos1/2 ,由可知:sin(cos)cos,再由0sincos,所以sin(cos)cos0，因为任何一个函数的单调区间都是定义域的子集。 解：令，要求y的增区间，因为单调递减，只要求的减区间，即的增区间， (kZ) (KZ)即为所求函数的单调增区间。 例11：判断函数在区间上的增减性，并加以证明。
6、解： ，由正弦函数的性质可知，f(x)在上单调递增，在区间上单调递减，其中kZ,f(x)在上单调递减,下面我们用函数单调性的定义来证明: 令, f(x1)f(x2)f(x)在上单调递减. 例12:试判断下列各函数的奇偶性: 解:定义域为 kZ,且有:所以函数 为偶函数.定义域为R，且有:cos2x=0，所以函数是奇函数.或: 为奇函数.首先求函数f(x)的定义域，由于有1+sinx+cosx0， 于是且,kZ所以这个函数的定义域是:在数轴上,这个定义域关于原点不对称,所以它既不是奇函数,也不是偶函数。说明：定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,所以判定函数的奇偶性时，
7、应首先判断函数的定义域是否关于原点对称。要注意“恒等变形”常常不是等价变换，所以处理有关函数问题时，对函数式的化简要慎重对侍，如题3，如果作如下化简：由函数y=tanx/2是奇函数得出原函数也是奇函数的结论就是错误的，事实上最后的约分步骤是一个非等价变形，因为sinx/2+cosx/2有可能为零，它是导致错误的根本原因。 对于例3,我们还可以这样来处理:由1+sinx+cosx0知X可以取/2,但X不能取/2从而直接说明定义域不关于原点对称,从而说明原函数非奇非偶。 例13：已知函数f(x)=sinxcos2-sinxcos-3sinx+的最大值为3，（1）求常数的值；（2）求函数g(x)=(
8、sinx+2cos)(sinx+10cos)的最小值及最大值。解：（1）f(x)=(cos2-cos-3)sinx+ cos2-cos2 cos2-cos-30时,1sinx+2, ymax=1/2 说明:这是一个关于sinx的分式函数且分母的次数为二次的,用基本不等式求解时应注意基本不等式成立的条件。若类似于代数函数判别式法求最值时，要注意正弦函数本身的值域，如果分式函数的分子分母的次数均为一次的，如，求最值时我们可以运用基本三角函数y=Asin(x+)的最值，或运用y=asinx+bcosx的值域，或运用形数结合的方法去处理。 例15：已知f(x)=cos2x+2psinx+q的最大值为9
9、，最小值为6，求p,q的值。 分析：f(x)是关于sinx的二次函数，即f(x)=(sinxp)2+p2+q+1,令t=sinx,y=(tp)2+p2+q+1因为已知Y的最大和最小值，而二次函数的对称轴t=p又在变化，因此要分对称轴在1的两侧及10之间和01间这四种情形来讨论。 解：f(x)=sin2x+2psinx+q+1=(sinxp)2+p2+q+1 当p1时 ymax=1+2p+q+1q+2p ymin=(1)2+2p+q+1=q2p 由 当p1时,Ymax=q2p,Ymin=q+2p 由 当p0,1时,ymax=p2+q+1,ymin=q2p 由 当p1,0)时,Ymax=p2+p+
10、1,Ymin=q+2p由综上所述或【每周一练】 一、选择题： 1、若(0,2)，则使sincoscottan成立的的取值范围是：（ ） A、() B、() C、() D、()2、已知a=sin，b=sin2，c=cos4，则a、b、c的大小关系是（ ） A、cab B、abc C、cba D、bca3、已知f(tanx)=sinx,则f(cotx)等于：（ ） A、cscx B、cosx C、secx D、sinx4、已知条件甲：x是第一象限角；条件乙：sinx是增函数，则甲是乙成立的（ ） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件5、已知sin/2=4/5 且sin0，则所在的象限是（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限6、函数y=2
