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1、高三总复习函数综合应用函数知识是贯穿高中数学的一条主线，其方程思想揭示了知识间的内在联系，它与不等式，数列，解析几何，三角等知识都有交汇。此外函数知识中图象，性质，函数概念等纵向的综合问题，也是考察的重点，难点。 本周教学例题： 例1设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)，给出下述命题： f(x)有最小值。 当a=0时，f(x)的值域为R。 当a0时，f(x)在区间2，+)上有反函数。 若f(x)在区间2,+)上单调递增，则实数a的取值范围是a-4。 其中正确命题的序号为：，。 分析：既要逐个判断命题，又要注意各个命题之间的相互联系。有时，判断其中一个命题成立时，同时可判断其否命题不成立。
2、如其中的和。 逐个命题给予判断： 由:a=0时，f(x)R, f(x)无最小值，因此不正确，而是正确的。由:若使f(x)在 2，+）上有反函数，设u=g(x)=x2+ax-a-1, 对称轴x=-, 当x2,+)时，要使u0, 即g(2)0。 则有：22+2a-a-10，即a-3, 又-2a-4。 a0, 则符合题意要求。 又 u在(-,+)上单调增，lgu也为单增函数， f(x)当a0时，在2,+)上有反函数，即正确。 由f(x)在2,+）上单增， 只需： a-3, a-4不能保证f(x)在2,+)上单增， 因此不正确。 小结：上述问题中，复合函数的单调性问题是一个难点问题。既要考虑分解出的各
3、个函数的单调性，又要重视定义域问题。 例2已知点P(x, y)在函数y=-x2+x-的图象上运动 ，其对应点Q()在函数g(x)的图象上运动，求g(x)的解析式。 问：是否存在实数m, n(mn)，使得函数g(x)在区间m, n上的值域为3m, 3n。 解：设g(x)图象上的点(x1, y1), 据题意有： ， ， 。 。 对称轴：x=1。又mn, 则有： 当mn1时，g(x)在m, n上单调递增， 即 m=-4, n=0。 当m1n时，易知g(1)=3n，所以n=,显然不合题意。 当1mn时，根据计算易知不合题意。 综上，m=-4, n=0。 另解： , ，即, , x=1为对称轴， 在m,
4、n上g(x)单调递增。 则有 评述：这是一个求轨迹方程与二次函数的综合问题。求轨迹实质是相关点法解决的，而二次函数问题是属于给定二次函数，而x取值的区间m,n是一个动区间的问题，其值域与二次函数图象变化趋势相关，即要抓住二次函数单调性改变的分界线即对称轴与m,n的相对位置展开讨论，并且不重不漏。而另解中应用了二次函数的最值，从而确定了m,n与对称轴之间的位置，使问题的解法一下子就简化了。 例3定义在实数集上的单调函数f(x)满足f(3)=log23。且对于任意x,yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y) （1）求证：f(x)为奇函数。 （2）若：f(k3x)+f(3x-9x-2)0，又f(0
5、)=0, f(3)f(0)，又f(x)在R上单调函数， f(x)在R上为单调增函数， f(k3x)+f(3x-9x-2)0， t2-(k+1)t+20对任意t0均成立。 （方法1）令g(t)=t2-(k+1)t+2, 对称轴： 当，即k0符合题意。 当时，对任意t0，有g(t)0恒成立，只需： 解得：。 综上，当时，对任意均成立。 （方法2）由（I） 3x0, , 使, （等号可以取到）。 要使对任意（I）成立，只需即可。 小结：对于抽象函数，先从性质入手，再由性质来解决其它问题。例3中方法1是化为一元二次不等式的解集问题处理的。而方法2则将k与x两个变量分离在不等式两边，从而由一边关于x的范
6、围得出k的范围，而求关于x的函数的值域时，应用的是平均不等式。 例4已知函数（a,b,cR, a0, b0）是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中bN,且。 （1）试求函数f(x)的解析式。 （2）问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。 解：（1）： f(x)为奇函数， f(-x)=-f(x), c=0, x0时，f(x)min=2。 即， 当且仅当， ， 即时达到最小值， 有a=b2。 又 , 即， ， bN，b=1, a=1。 （2）设存在一点(x0, y0)在y=f(x)的图象上，且关于点(1,0)的对称点为(2-x0,
7、-y0)也在y=f(x)图象上 则 ， 解得：， y=f(x)图象上存在两点关于点(1,0)对称。 例5已知函数，f2(x)=x+2。（1）若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不相等的实根，求实数a的取值范围。（2）若f1(x)f2(x-b)的解集为，求实数b的值。 解：（1） ，图象如下： 圆心(-a, 0)，半径r=1, 设圆心到y=x+2距离为d, , 由题意， 如上图，时，l与C相交， 当a=1时，如图（3），l与C有两个公共点， a1时，l与半圆只有一个公共点， 。 有两个实根有两个不小于-2的根。 设g(x)=2x2+2(a+2)x+a2+3。 如右图，只需 。 （2） f1(x)f2(x-b) 即，解集为， 当时， ， 只需直线：过点， 解得：。 小结：例4是函数与解析几何知识的结合。而例5则是数形结合的思想解决函数问题的类型。对于（1）中解法1应注意等价转化，且不同情况画出相应图形，注意如何表述。而解法2则是应用化为一元二次方程实根分布的思想解决的，要联系二次函数图象，主要考察开口方向，对称轴位置，与x轴交点情况，及区间端点函数值的符号。 总之，函数的综合问题一是本身各方面知识综合，另一个就是与其它知识的结合，需要多练习，多反思。
