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1、高三总复习求函数值域的几种方法 若有非空数集A到B的映射f:AB，则函数：y=f(x)(xA,yB)的值域是自变量x在f作用下的函数值y的集合C，很明显，CB，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。 1 定义法 要深刻领会映射与函数值域的定义。 例1已知函数f:AB（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（ ）。 AMA，NB BMN，NB CMA，NBDMA，NB 说明：函数的定义域是映射f：AB中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。 故：应有MA，NB ，选C。 例2已知函数f
2、(x)=2log2x的值域是-1，1，求函数y=f-1(x)的值域。 分析：要求反函数的值域，只需求原函数的定义域。 解：由已知可得 f(x)-1，1，解之得， 即函数y=f-1(x)的值域是。 2 利用均值定理求函数的值域 例3若函数的定义域是(0,+)，求值域。 解：, , 则 当且仅当时取“=”。因此，函数的值域是。 例4已知x+2y=1，x,yR+, 求的最小值。 解：由已知x+2y=1,x,yR+,则有 当且仅当，即时取等号，故的最小值是。 说明：利用重要不等式均值定理求函数值域，要注意三条原则：一正数，二定值，三取等。 3 配方法 形如y=ax2+bx+c(a0)的函数常用配方法求
3、函数的值域，要注意x的取值范围。 例5设（aR），如果x(-,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围。 解：由题知，当x(-,1)时，要使函数f(x)有意义，需满足不等式：，即12x+a4x0恒成立，分离常数得 由于，因而。 故a的取值范围是。 4 换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法。 例6已知函数f(x)的值域是。求的值域。 解：， 。 故 ， 令，则， 有， 由于y=g(t)在时单调递增， 当时，; 当时，。 的值域是。 5 判别式法 形如的函数值域，可变形为 (dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0
4、.(1) 当dy-a0时，(1)式为关于x的一元二次方程，由于函数的定义域为非空数集，故方程(1)有实根，因而=(ey-b)2-4(dy-a)(by-c)0.(2)，再通过不等式(2)求y的最大值和最小值。此法称为判别式法。例7求函数的值域。 解：由已知得， (y-1)x2+(1-y)x+y=0. 当y=1时，方程(y-1)x2+(1-y)x+y=0无解， y1, 又 xR，则 (1-y)2-4y(y-1)0 解之得。 又因为y1, 故函数值域为。 说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为0的情形要特别讨论；二是要看函数的定义域是否满足xR。如果x有特定的范围限制时，往往要综合运用
5、判别式和韦达定理等，方能求出y的值域。 6 利用函数的单调性求函数的值域 例8求函数的值域。 解：函数的定义域为，函数y=x和函数在上均为单调递增函数。 故。 因此，函数的值域是。7 数形结合法 通过函数图象，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。 例9已知：实数x,yR，满足(x-2)2+y2=3, 求的最值。解: 如图，因为，可看作是动点P(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，而动点P(x，y)在圆(x-2)2+y2=3上，于是依数形结合法，可得的最大值为，最小值为。 说明：数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法。运用图形的直观性，通过数形结合使抽象问题直观化；复杂问题
6、简单化；综合问题浅显化，充分训练发散思维。 8 构造法 求函数的值域可以通过构造函数和方程的方法，挖掘问题的隐含条件，揭示其本质属性。 例10对于满足0p4的所有实数p,求使不等式x2+px4x+p-3成立的x的取值范围。 解：原不等式等价转化为 p(x-1)+x2-4x+30，构造关于p的一次函数不等式 f(p)=p(x-1)+x2-4x+30. 0p4，因此，不等式f(p)0等价于不等式组： 解(1)得x3；解(2)得x1。 故满足题意的x的取值范围是。 函数的值域问题涉及到函数，不等式，三角函数，解析几何等高中数学重要内容，是数学中常见的问题之一，渗透了许多重要的数学思想和方法，因此在高考数学复习中必须对求值域的常用方法和一般技能进行系统整理，深化训练。
