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1、高三总复习函数的周期性与反函数知识要点及典型例题： （一）函数的周期性： 1.周期函数的定义： 对于函数y=f(x)，如果存在一个常数T0，使得当x取定义域内任意一个值时，恒有f(x+T)=f(x)成立，称 y=f(x)为周期函数，T为周期函数的周期。 2.由定义可以得到: （1）周期函数的定义域区间的形式应是无界区间(-，+)，或至少有一端是无界的a，+)，(-，a；这是因为：若设y=f(x)的定义域为D，对任取xD，总有x+TD，(T0)，则D必是无界区间。 如：y=sinx，当x(-，+)，或x0，+)，或x(-，0都可成为周期函数，而若当x(0，10时，取90，10，而9+20，10，
2、则无法满足任取x0，10，使f(x+T)=f(x)恒成立。 （2）若T0为y=f(x)(xR)的一个周期，则nT(nZ且n0)也是y=f(x)的周期，这是因为： f(x+T)=f(x)，且xR，x+TR， f(x+T+T)=f(x+T)=f(x)。因此，2T为f(x)的周期，依此类推： 因此，nT(nZ且n0)是y=f(x)，xR的周期，如，y=sinx的一个周期为2，则4，6，8或-2，-4，-6都是y=sinx的周期。 3.关于函数周期性问题的应用有两个方面： (1)三角函数方面，通过三角变换一般化归为形如y=Af(x+)的形式。 (2)一般函数y=f(x)的周期问题。 4例题分析： 例1
3、.求下列函数的最小正周期： (1) y=3sin(x+) (m0) (2) y=cos4x-sin4x(3) y=sin2 (4) y=tanx-cotx 解：(2) y=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x，则T=。 例2.设y=f(x)是(-，+)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0x1时，f(x)=x，求f(7.5)的值。 法I:直接计算：f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2) =-f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5) =-f(0.5)=-0.5法II:利
4、用周期性： f(x+2)=-f(x)， f(x+2+2)=-f(x+2)=-f(x)=f(x) f(x)的一个周期为4，则4n(nZ，n0)为f(x)的周期，自然，8是f(x)的周期 f(7.5)=f(-0.5+8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。评述：在例2中的法I，法II对比，可以发现，充分利用周期性对于提高效率作用很大。 例3偶函数f(x)的定义域为R，若f(x-1)=f(x+1)对一切xR恒成立，又当0x1时，f(x)=-x2+4. (1)求证f(x)是周期函数，并确定它的周期； (2)求当 1x2时，f(x)的解析式。 证明：(1) f(x)定义域为R且f(x-1)=f(
5、x+1)， f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x)，则f(x)的一个周期为2，且2n(nZ，n0)都是y=f(x)的周期。 (2)设1x2，则-2-x-1，因此，02-x1，由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4， f(x)的周期为2，且为偶函数， f(2-x)=f(-x)=f(x). 当1x2时，f(x)=-(2-x)2+4。（二）反函数 1反函数的定义： 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为M，若从y=f(x)中解出x=(y)，如果对于M中的每一个y值，通过式子 x=(y)，使得在D中都有唯一确定的x值和它对应。那么式子x=(y)就表示以y为自变量x的函数。这样的
6、函数 x=(y)，叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)。习惯上，用x表示自变量，用y表示函数，因此，把它改写为y=f-1(x)。2由反函数的定义可以得到： （1）第一个函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x)，则这个函数y=f(x)的定义域D与值域M之间所对应的映射一定是一对一的。 （2）互为反函数的y=f(x)与y=f-1(x)之间的关系。 定义域与值域互相交换。 图象关于直线y=x对称，即若点(a，b)在y=f(x)图象上，则点(b，a)一定在其反函数y=f-1(x)的图象上。 互为反函数的这两个函数在其各自的定义域上的相应的区间上有相同的单调性与奇偶性。 3例题分析： 例
7、1.若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=C（C为常数）（ ）。 A、有且只有一个实根B、至少有一个实根 C、至多有一个实根D、没有实数根 分析：方程f(x)=C的根的几何意义是：在同一坐标系中，表示y=f(x)的图象与y=C的图象交点的横坐标。 由于y=f(x)有反函数，则对于每一个y都有唯一的x与之对应，则对于y=C中的C，若属于y=f(x)的值域区间，就有唯一交点，若C不属于y=f(x)的值域区间，就无交点。因此方程f(x)=C应至多有一个实根。 故应选C。 例2.函数y=的反函数（ ）。 A、是奇函数，它在(0，+)上是减函数B、是偶函数，它在(0，+)上是减函数； C、是奇函
8、数，它在(0，+)上是增函数D、是偶函数，它在(0，+)上是增函数； 分析：由于f(-x)=(e-x-ex)=-(ex-e-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数，故排除B，D。 又在(0，+)取x1=1，x2=2. f(1)=(e-e-1)，f(2)= =(e-e-1)(e+e-1) f(2)-f(1)=(e-e-1)(e+e-1)-(e-e-1)0， 则f(x)在(0，+)为增函数，故选C。 例3.求下列函数的反函数。 (1)y=x2-2x-3 (x0) (2)y=log2(x2-1)-1 (x1)解：(1)当x0时，y=x2-2x-3=(x-1)2-4-3， y-3，+)，由y=(x-1)
9、2-4有 (x-1)2=y+4， x0，x-1=-，原函数的反函数为：y=-+1(x-3)。(2)当x1时，x2-10，则log2(x2-1)R， yR。由y=log2(x2-1)-1，得y+1=log2(x2-1)， x2-1=2y+1， x2=2y+1+1， x1， x=， 原函数的反函数是y= (xR)。 评述：求函数y=f(x)的反函数的步骤是： (1) 求函数的定义域和值域； (2) 由y=f(x)解出x=f-1(y)；(3) 将x=f-1(y)中的x，y互换得y=f-1(x)并指出反函数的定义域（即原函数的值域）。 例4.若点(1，2)既在函数y=的图象上，又在它的反函数图象上，求a，b。 解法I：求出y=的反函数后再联立解出a，b。解法II: 点(1，2)在y=的图象上， 2=. 又点(1，2)在y=的反函数图象上， 点(2，1)在y=的图象上，即1=. 由有：。
