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1、高三总复习利用函数性质解抽象函数问题 抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了其他一些条件(如函数的定义域、经过某些特殊点、部分关系式、部分图象特征等)的函数问题。这类问题的解法常涉及到函数的概念和各种性质，因而具有抽象性、综合性和技巧性等特点，它既是教学中的难点，又是近年来高考的热点。为此，本文从利用函数性质方面谈谈解抽象函数问题。 一、利用函数的奇偶性 例1已知函数f(x)=ax5+bsinx+3且f(-3)=7，求f(3)的值。 分析：f(x)的解析式中含有两个参数a、b，却只有一个条件f(-3)7，无法确定出a、b的值，因此函数f(x)(解析式不确定)是抽象函数。注意到 g(
2、x)=ax5+bsinx=f(x)-3是奇函数，可得g(-3)=-g(3), 7=f(-3)=g(-3)+3, 即 g(-3)=4, f(3)=g(3)+3=-g(-3)+3=-4+3=-1。 注：这种解法运用了整体思想，化整体为局部，再由局部问题的解决使整体问题得解。 二、利用函数的单调性 例2设函数f(x)定义在R上，当x0时，f(x)1，且对任意m,nR，有f(m+n)=f(m)f(n)，当mn时，f(m)f(n)。(1)证明：f(0)=1；(2)证明：f(x)在R上是增函数； (3)A=(x,y)|f(x2)f(y2)f(1)，B=(x,y)|f(ax+by+c)=1, a,b,cR,
3、 a0。若AB，求a,b,c满足的条件。 分析：(1)令m=n=0，得f(0)=f(0)f(0), f(0)=0或f(0)=1。 若f(0)=0，当m0时，有f(m)=f(m+0)=f(m)f(0)=f(0), 这与mn时，f(m)f(n)矛盾。 f(0)=1。 (2)设x10。 由已知得 f(x2-x1)1。 x10 时，f(x1)1。 当x10，f(-x1)1, f(0)=f(x1+(-x1)=f(x1)f(-x1), , 即对任意的x1，总有f(x1)0, f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)f(x1)。 f(x)在R上为增函数。 (3) f(x2+y2)=f(
4、x2)f(y2)f(1), x2+y21. 由f(ax+by+c)=1，得 ax+by+c=0. 由，消去y，得 (a2+b2)x2+2acx+c2-b20。 AB=, =(2ac)2-4(a2+b2)(c2-b2)0, 故所求条件为a2+b2c2。 注：(3)用数形结合的方法更简单。 例3已知函数f(x)在定义域 (-,1 上是减函数，问是否存在实数k，使f(k-sinx)f(k2-sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。 分析：由单调性，原等式等价于 k-sinxk2-sin2x1,它又等价于 因为sin2x+11，所以不等式(1)对一切xR恒成立的充要条件是k21.(3) 又 ， .
5、(4) 由(3),(4)求交集，得k=-1。 故存在k=-1适合题设条件。 注：抽象函数与不等式的综合题常需利用单调性，脱掉函数记号。 三利用函数的周期性 例4设f(x)是(-,+)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=_。 分析：读懂题意，理解函数满足关系式f(x+2)-f(x)及f(-x)=-f(x)；将f(7.5)的求值问题转化到x0，1范围内解决。 由f(x+2)=-f(x)，得f(x+4)=-f(x+2)f(x)，知f(x)是以4为一个周期的周期函数，于是 f(7.5)=f(42-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。 例5已知
6、f(x)是定义在实数集上的函数且满足f(x+2)(1-f(x)=1+f(x)，f(1)=1997，求f(2001)的值。 分析：易知f(x)1,所以有 函数f(x)是以8为一个周期的周期函数，从而f(2001)=f(8250+1)=f(1)=1997。 注：对一类抽象函数求值问题，充分利用周期性，化未知为已知。 四利用函数的对称性，数形结合 例6对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x-1)与函数y=f(-x+1)的图象恒（ ）。 A关于x轴对称 B关于直线x=1对称 C关于直线x=-1对称 D关于y轴对称 分析：因为f(x)和f(-x)的图象关于直线x=0对称，所以f(
7、x-1)和f(-(x-1)的图象关于直线x-1=0,即x=1对称，故选B。 例7函数f(x)对一切实数x都满足，并且f(x)=0有3个实根，求这3个实根之和。 分析：由知直线是函数图象的对称轴，又因f(x)=0有3个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根x2，x3关于对称，即，故。 注：若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则直线x=a是函数图象的对称轴，然后利用数形结合，常使问题迎刃而解。 五借助特殊点，运用方程思想 例8已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ）。 A.b(-，0)B.b(0，1)C.b(1，2)D.b(2，+) 分析：本题的已知信息主要在图象上，所以认真观察图象，可知函数的图象经过了点(0,0),(1,0),(2,0)，这些点的坐标应满足函数解析式，则有 解得， 。 显然由f(-1)0，即可解得b0，选A。
