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1、高三总复习高考中函数问题的几个热点分析 函数是贯穿在中学数学中的一条主线，每年的高考对函数问题的考查所占的比例都相当大，可以说是常考常新。尤其是导数和向量进入了中学数学教材之后，给函数问题注入了生机与活力，开辟了许多新的解题途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间。下面结合近几年的一些高考题或高考模拟题，谈谈高考函数问题的几个热点，供大家复习时参考。 一、以三次函数为主线的问题 例1：已知f(x)x3+bx2+cx+d在(-，0)上是增函数，在0，2上是减函数，且方程f(x)0有一个根为2。 （1）求c的值；（2）求证：f(1)2。 解：(1) f(x)3x2+2bx+c f(x)在(-,0)上是
2、增函数，在0，2上是减函数。 当x=0时，f(x)取到极大值， f(0)=0, c=0。 (2) f(2)=0, 8+4b+d=0, d=-4(b+2), f(x)=3x2+2bx的两根分别是x1=0, , f(x)在0，2上是减函数， ， b-3。 f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b2。 例2已知实数a0，函数f(x)=ax(x-2)2(xR)有极大值32。 （1）求实数a的值；（2）求函数f(x)的单调区间。 解：(1) f(x)=ax3-4ax2+4ax, f(x)=3ax2-8ax+4a=a(3x-2)(x-2)。 令f(x)=0，得或x=2。而f(x)在R上有极大
3、值32，f(2)=0， f(x)在处取得极大值， ， a=27。 (2)f(x)=27(3x-2)(x-2)。 当或x2时，当时，f(x)1时，f(x)0。 （1）求的值；（2）判断y=f(x)在(0, +)上单调性； （3）一个各项均为正数的数列an满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(nN*)，其中Sn是数列an的前n项和，求Sn和an。 解：（1）令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1), f(1)=0。 再令x=2, , 则， 。 （2）设0x2x1，则 0x2f(x2)， f(x)在(0,+)上单调递增。 （3） f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1，且f(2)=
4、1, f(Sn)+f(2)=f(an)+f(an+1), 即 f(2Sn)=fan(an+1) 由于f(x)在(0,+)上单调递增， 2Sn=an(an+1), 当n2时，an=Sn-Sn-1=。 , , 即 (an+an-1)(an-an-1-1)=0 an+an-10, an-an-1=1(n2) an是以a1为首项，1为公差的等差数列， an=a1+(n-1)1。 由， 得， a1=1。 an=1+(n-1)1=n, 。 点评：本题融抽象函数、函数的单调性、数列等知识于一体，解题思路是：赋值(化抽象为具体)作恒等变形逆用函数单调性将函数关系式转化为自变量间的关系式(数列中an与Sn的关系
5、)。利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。 三、以向量知识为背景的函数问题 例4设平面向量a=,b=。若存在不同时为零的两个实数s, t及实数k，使 x=a+(t2-k)b, y=-sa+tb，且xy。（1）求函数关系式s=f(t)；（2）若函数s=f(t)在1，+）上是单调函数，求k的取值范围。 解：（1） a=,b=。 |a|=|b|=1, ab=0
6、又xy， xy=0， 即 a+(t2-k)b(-sa+tb)=0, -sa2+t(t2-k)b2+(t-st2+sk)ab=0, -s+(t2-k)t=0，于是s=f(t)=t3-kt。 （2）f(t)=3t2-k。 f(t)在1,+)上是单调函数， 在1，+)上有f(t)0或f(t)0。 由 f(t) 03t2-k0k3t2k(3t2)mink3。 由 f(t) 03t2-k0k3t2。 因为在t1,+上，3t2是增函数，所以不存在k，使k3t2 在1，+上恒成立。 故k的取值范围是k3。 点评：本题融向量、函数、导数、含参数的不等式等知识于一体，解题思路是：将向量间的几何(位置)关系数量化
7、(坐标关系)，利用导数研究函数的单调性。由于向量具有几何表示和代数表示的特点，这就使其成为近几年高考表述函数问题的重要载体。以向量知识为背景的函数问题常常在高考中作为“把关题”，对此，复习中我们要引起高度重视。 四、以高等数学知识为背景的函数问题 例5：设函数f(x)的定义域为D，如果函数f(x)满足：存在常数M0，对任意xD，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数。 （1）函数在实数集R上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由。 （2）已知，求使|f(x)|1在0,+)上恒成立的a的取值范围。 解：（1） |f(x)| 上式对任意xR都成立， f(x)是R上的有界
8、函数。 （2）, |f(x)|1, , 即 。 当x0,+时， a1； 当x+时，且连续递增，所有值都小于1， a0。 故使|f(x)|1在0,+) 上恒成立的a的取值范围是0a1。 例6定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1,x2R，都有，则称f(x)是R上的凹函数。 已知二次函数f(x)=ax2+x(aR, 且a0)。 （1）求证：当a0时，函数f(x)是凹函数；（2）如果x0,1时，|f(x)|1，试求a的取值范围。 （1）证明：任取x1, x2R，则 (x1-x2)20, a0, , 。 当a0时，函数f(x)是凹函数。 （2）解：|f(x)|1-1f(x)1-1ax2+x1(*
9、) 当x=0时，aR； 当x0时， (*) 当x(0,1时，的最大值是-2，的最小值是0， 但a0, -2a0，即为a的取值范围。 点评：以上两题分别以高等数学中的有界函数与凹函数为背景，通过给出它们的定义(设置新情境)，考查学生阅读、理解、迁移新知识的能力，以及灵活运用函数知识求解不等式恒成立问题的能力。解题思路是：理解新定义按定义证明求解不等式恒成立。在高等数学与高中数学的知识交汇处命题，是近几年高考命题的一种趋向。在这种问题中，又以函数问题居多。 五、以函数的“不动点”为载体的问题 例7设函数f(x)的定义域为D。若存在x0D，使f(x0)=x0成立，则称(x0, x0)是函数f(x)图
10、象上的一个不动点。 （1）若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，求a,b应满足的条件； （2）在（1）的条件下，若a=8，设f(x)的图象上两个不动点分别为A, A，求平行于直线AA且与f(x)的图象相切的直线方程。 解：（1）由f(x0)=x0，得， 整理得 （*） 由题意知，方程（*）有两个绝对值相等，符号相反的根，因此,b-3=0，且-a0，。 故a,b应满足的条件是b=3, a0且a9。 （2）当a=8, b=3时，。由得两个不动点为，。 直线AA的斜率为1。 又， 。 切点为P(-4,4)和Q(-2,2)。于是所求的切线方程是y-4=x+4和y-2=x+2，即y=x+8和y=x+
11、4。 例8设函数f(x)的定义域为D，若存在x0D，使f(x0)=x0成立，则称x0是函数f(x)的一个不动点。 （1）已知函数f(x)=ax2+bx-b(a0)有不动点1和-3，试确定a,b的值； （2）若对于任意实数b，函数f(x)=ax2+bx-b总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围。 解：（1） 1和-3是f(x)的不动点， （2）对任意实数b，f(x)=ax2+bx-b总有两个相异的不动点，即是说对任意实数b ,方程ax2+bx-b-x=0，即ax2+(b-1)x-b=0有两个相异的实根，因此a0，且=(b-1)2+4ab=b2+(4a-2)b+10对任意实数b恒成立。 (4a-2)2-40, 0a1。 故当0a1时，对任意实数b，f(x)总有两个相异的不动点。 点评：函数的“不动点”问题，是近两年各地高考模拟题和高考题中出现的一种新题型。这类问题往往将函数、方程、解析几何、导数等知识有机地融合在一起，极富思考性和挑战性，能有效考查学生的思维水平和综合能力。预计这类问题在今后的高考中将会设计得更加灵活，更能体现“能力立意”的命题要求。
