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1、高一数学集合与简单逻辑第一节 集合课程难点与解析 1集合 （1）集合概念. 和几何中的点、线、面一样，集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他基本概念来定义，它们也叫做不定义的概念或原始概念.课本通过几个具体例子对集合进行描述性的说明，这也表明集合概念和其他数学概念一样，是从现实世界中由具体事物抽象出来的，而不是数学家凭空臆造出来的.（2）集合中元素的特性.确定性，对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，也就说，对于任何一个作为具体研究对象的元素，都能确定这个元素是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两种情况必有且只有一种为真.因此，诸如“高一（1）班个子高的同学”，“比较大的角”，就不
2、能构成集合，因为“个子高”和“比较大”没有一个确定的标准.互异性，对于给定集合中的任意两个元素，它们必定不相同，即集合中的元素是没有重复现象的，因此，一个元素在同一集合中只能出现一次.这个特性在解某些问题时非常重要.无序性，由于集体是指一组对象的全体，而不论这些对象的先后顺序，因此在表示集合时，元素排列的先后顺序不影响集合的表示.（3）集合的表示法 表示一个集合常用下列两种方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号内表示集合的方法叫列举法.当元素个数较多，或集合有无限多个元素，在用列举法表集合时，可以采用省略号，但应很容易按常规看出该集合中元素的规律.如：“小于100的正奇数”集
3、合可以表示为1，3，5，7，9，99；“负整数”集合可以表示为-1，-2，-3，-4，. 描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法.描述法中，竖线前面是这个集合的“代表元素”的一般形式，竖线后面是这个集合元素的公共属性.如：x|x+3=3x-1表示元素x是方程x+3=3x-1的解，即x=2，亦即x|x+3=3x-1=x|x=2=2。所有整数组成的集合可以写成整数，而所有整数的写法就不要当了.用描述法表示集合时要注意些“代表元素”是什么.如：和表示两个不同的集合，前一个集合就是，后一个集合是抛物线上所有点组成的集合.（4）符号“”与“” 表示
4、“属于”的符号“”和表示“不属于”的符号“”（或）仅表示元素与集合之间的关系，而不是两个集合之间的关系. 由集合中元素的确定性，对于任意元素和集合M，在“”和“”这两种关系中，必有且仅有一种关系成立.（5）集合按其中元素的多少对只有有限个元素的集合叫有限集，含有无限多个元素的集合叫无限集.对于只有一个元素的集合有时也叫做单元集. 不含任何元素的集合叫做空集.用“”表示，如：是空集.但不是空集，它是以集合为元素的集合（这个元素是“”），0也不是空集，它有一个元素“0”.（6）常用的数集符号以数为元素的集合叫数集.按约定，常用的数集符号有：N自然数集（非负整数集）；Z整数集；正整数集；Q有理数集；
5、R实数集. 例题解析 例1用另一种表示法写出下列各集合：（1）3的正整数倍的数；（2）1，6，11，16，21，26，.解：（1）可用列举法表示为3，6，9，12，15，； （2）可用描述法表示为被5除余1时的正整数，或表示为例2 已知集合2，,，求实数应满足的条件. 解 ：由集合中元素的互异性，有 即 得 应满足，且 ，且.2、子集（1）子集的定义 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，即若x,就必有x,则称集合A是集合B的子集. 应注意，“集合B中的部分元素组成的集合A叫集合B的子集”的说法是错误的，因为这和“空集是任何集合的子集”的规定矛盾，也和“任何一个集合是它
6、本身的子集”的结论矛盾.（2）符号“”、“”、“ ”、“ ”、“”、“”.这几个符号仅适用于两个集合之间的关系，而前面的符号“”、“”是用于 元素与集合之间的关系.规定“空集是任何集合的子集”后，任何一个集合是它本身 的子集，即.并且可知“空集是任何非空集合的真子集”，但不能说“空集是任 何集合的真子集”，因为空集不是空集的真子集. 由子集和真子集的定义，容易证明集合的包含关系有传递性，即：若，则；若AB，BC，则AC. （3）集合的相等 若集合A和B，既满足，又满足，则这两个集合相等，即A=B. 因此要证明A=B，只要证明，同时有就可以了.（4）图时表示 如果两个集合A和B有关系AB，可以用
7、右图表示，这个图常称为韦恩图，其中两条封闭曲线内部分别表示集合A和B.韦恩图可以形象地帮助我们考虑集合中的一些问题. 如图 （5）集合的子集个数 一个有n个元素（）的有限集A，它的子集有个，其中包含空集和它本身A.因此，集合A有个非空子集（不含，含A），有个真子集（不含，含），有个非空真子集（不含，A）. 例题解析 例1、判断下列集合之间的关系： （1）A=三角形，B=等腰三角形，C=等边三角形； （2）A=,B=,C=; （3）A=,B=,C=; （4） 解：1）ABC. （2）， CAB. （3） ABC. （4） 当时，2k+1是奇数，k+2是整数， AB.例2、（1）已知集合A=x|a
8、x+1=0,B=x|，求满足条件AB 数a组成的集合M；解： B=2，3 由AB，A=，或A=2，或A=3. 若A=，a=0；若A=2,；若A=3,a= 3. 全集与补集（1） 全集是一个相对的概念，它含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素，通常用“U”表示全集. 在研究不同问题时，全集也不一定相同，如在实数范围内讨论问题时，实数集R就是全集U；在有理数范围内讨论问题时，有理数集Q就是全集U.（2） 补集也是一个相对的概念，若集合A是集合S的子集，则S中所有不属于A的元素组成的集合称为S中子集A的补集（余集），记作 sA，即 sA=x|. 当S不同时，集合A的补集也不同. 如：A=1，2，3
9、，4，5，若S=1，2，3，9 则 sA=6，7，8，9；若S=1，2，3，4，5，6，则 sA=6.由补集的定义，知 s ( sA )=A. 例题解析 已知全集U=1，3，A=1，x，求 UA. 解：由全集的概念，A， 或 当x=3时，与集合中元素的互异性矛盾. UA=3. 同步习题 一、 填空题1、“被3除余2的自然数”可以用描述法表示为_.2、已知集合A=x|x=2n-1,nz,B=,则集合A与集合B的关系为A_B.3、若S=x|x=,A=x|x=,则 SA=_.4、若集合A=x|1x2,B=x|xa,且AB，则实数a的取值范围是_.二、 解答题5、设，集合A=2，B=5，xy+4，且A
10、=B，求x，y.。三、 选作题6、已知集合A=1，1+d，1+2d，B=1，q，q2，若A=B，求实数d和q的值. 答案解析 一、1 2= 3 4二、5 或 三、选作题6由集合中元素的互异性， 若 -， 若 -， 第三节 交集与并集课程难点与解析 1交集 （1）交集的定义 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，用符号“AB”表示，实际上“AB”是由所有集合A和集合B的公共元素所组成的集合，用集合的方法，可以表示为：AB= AB也可以用韦恩图中的阴影部分表示如下： （2）交集的性质 （3）交集的定义、集合相等的定义和补集的定义，很容易证明：AA=A，A=，AB= B
11、A，(AB) C=A(BC)。对A=证明如下：假设存在元素则由交集定义，得与空集中的定义矛盾，所以集合A中不存在任何元素，即A=此外，还容易证明AB= B与B等价，这个结论在解题时会用到.（4）交集与方程组，不等式组求方程组的解集，即求方程组中每一个方程的解集的交集，求不等式组的解集，即求不等式组中每一个不等式的解集的交集。 例题解析 例1 已知集合A=，B=求AB.解 ：若 令 则 例2 已知A=,求实数P的数值范围. 解 ： 由 （1）若 （2）若此时应要求方程，没有正根.如方程有一零根， 负根.则，则，由（1），（2）知2. 并集 （1）并集的定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组
12、成的集合，叫做集合A与B的并集，用符号“表示，实际上“”是由集合A和集合B中所有元素组成的集合，但集合A与集合B中的公共元素在中只能出现一次。用集合的写法，可以表示为. 应注意：这里“”中“或”的意义包含三种情况：（2）并集的性质由并集的定义、集合相等的定义及补集的定义，很容易证明： 由交集和并集的定义，也容易证明：此外，还容易证明：（3）并集与方程方程f(x)g(x)=0的解集，是方程f(x)=0的解集与方程g(x)=0的解集的并集。 例题解析 例3已知平面上的点并说明它们的几何意义。解： 实际上直线互相平行，例4已知集合=，求实数b,c,m的值.解： 又 同步习题 一、填空题1已知集合A=B=则AB=_,AB=_.2满足AB=的集合A，B共有_对.二、解答题3已知，求实数的值.4已知集合M=,求实数a的的值.三、选作题5已知集合.6若用n(A)表示有限集A的元素个数。（1）已知n(A)=20，n(B)=15,n(AB)=28,求n(AB); (2)已知n()=4,n()=18,n(A)=10,求n(B). 答案解析 一、 填空1. 2. 9三、解答3解 4解 ， 若 这时若这时不符合集合中元素的互异性。若
