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1、高一数学第十六讲数列应用题一 知识归纳： 数列作为特殊的函数，在中学数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，诸如银行信贷、生产产品的增长率、分期付款等题型。 运用数列知识解决实际应用问题时，应在认真审题的基础上，认准问题的哪一部分是数列问题？是那种数列（等差数列，等比数列）的问题？在a,d(或q),n,an,Sn中哪些量是已知的，哪些量是待求的？特别认准项数n为多少？ 总之，充分运用观察归纳猜想的手段，建立出有等差（比）数列、递推数列的模型，再综合运用其他相关知识来解决问题。二 例题讲解：【例1】 某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均
2、增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、2000年住房面积总数成AP a1 = 6500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 930 = 32701990年、1991年、2000年人口数成GPb1 = 500 , q = 1% , 2000年底该城市人均住房面积为：点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。【例2】 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，问：1.第5次倒出的的
3、1 kg盐水中含盐多少g？ 2.经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为an，则： a1= 0.2 kg , a2=0.2 kg , a3= ()20.2 kg 由此可见：an= ()n-10.2 kg , a5= ()5-10.2= ()40.2=0.0125 kg 2.由1.得an是等比数列 a1=0.2 , q= 点评：掌握浓度问题中的数列知识。【例3】流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新
4、感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an
5、=50n30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.故共感染者人数为：=8670，化简得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。【例4】某工厂更新设备,在1993年初贷款100万元,从该年度末开始,每年度末偿还一定的金额,计划在10年内还清,年利率为13%,那么每年需支付金额多少？ 解法1：设每年偿还金额为x万元,则第一年末贷款余额为100(1
6、+13%)x,第二年末贷款余额为100(1+13%)x(1+13%)x=100(1+13%)21+(1+13%)x第三年末贷款余额为100(1+13%)x(1+13%)x(1+13%)x=100(1+13%)31+(1+13%)+(1+13%)2x第10年末贷款余额为100(1+13%)101+(1+13%)+(1+13%)2+(1+13%)9x100(1+13%)101+(1+13%)+(1+13%)2+(1+13%)9x=0解得：x=14.5万元解法2：10年内,借款的本利和为100(1+13%)10万元,设每年偿还金额为x万元,则还款的本利和为x(1+13%)9+(1+13%)8+(1+
7、13%)+1万元,由借款本利和等于这款的本利和,可得100(1+13%)10 =x(1+13%)9+(1+13%)8+(1+13%)+1x=14.5万元。点评：理解记忆分期付款中建立方程的依据.【例5】有一个细胞集团，每小时死亡2个，余下的各个分裂成2个，设最初有细胞7个，问n小时后有多少个细胞？解：设n小时后的细胞总数为an，则a0=7，且an+1=2(an-2)，即an+1-4=2(an-4)，数列(an-4是首项为a0-4=3，公比为2的等比数列，an=32n+4 (nN)。因此，第n个小时后的细胞总数为32n+4个。【例6】某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的
8、生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？. 解：（）依题设，An=(50020)+(50040)+(50020n)=490n10n2；Bn=500(1+
9、)+(1+)+(1+)600=500n100.（）BnAn=(500n100) (490n10n2)=10n2+10n100=10n(n+1) 10.因为函数y=x(x+1) 10在（0，+）上为增函数，当1n3时，n(n+1) 1012100.仅当n4时，BnAn.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.点评：.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力16.数 列 应 用 题1：同样载重量的若干辆汽车运送一批货物,若同时投入运送,24小时可以全部送完这批货;若每隔相同的时间投入一辆车,而且每辆车投
10、入运送后要工作到全部货物运完,已知最后所有的车辆都投入了运送,且第一辆车工作的时间是最后一辆车的5倍.这种运送方式共持续了多长时间？2：为了保护某处珍贵文物古迹,政府决定建一堵大理石护墙,设计时,为了与周边景点协调,对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块,第二层用剩下的一半多一块,第三层依次类推,到第十层恰好将石块用完,问共需大理石多少块？每层各用大理石多少块？3：1991年,某内河可供船只航行的河段长1000公里,但由于水资源的过度使用,促使河水断流,从1992年起,该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的三分之二,试求 (1)到2000年,该内河可行驶的
11、河段长度为多少公里？ (2)若有一条船每年在该内河上行驶一个来回, 问从1991年到2000年这条船航行的总路程为多少公里？4：户,一月初向银行贷款10万元作开店资金,每月底获得的利润是该月初投入资金的20%,每月需交所得税为该月所得金额(含利润)的10%,每月生活费和其它开支三千元,余款作为资金全部投入再营业.如此继续,问到这一年底,这位个体户还清银行贷款后,纯收入还有多少？ ：某职工年初向银行贷款元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10，按复利计算，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？参考答案http:/w
12、ww.DearEDU.com分析：每辆车隔相同的时间投入使用,那么它们的工作时间t1,t2,tn构成了一个等差数列,且有t1 =5tn ;因为全部同时投入运送时,24小时运完,那么每辆车的工作效率为,所以有t1+t2+tn=1 解：由上面的分析可知：, 即得t1=40.所以这次运送共持续了40小时.解：设共用去大理石块,则各层用大理石块数分别为：第一层：+1= 第二层： +1=第三层：+1=第十层：+1= 组成首项为,公比为,项数为10的等比数列,所以x=+ 解得x=2046. 2.(1)a1=1000,an=,an为一等比数列,an=1000,所以到2000年,该内河可行驶船只的河段长度为a
13、10=1000公里 (2)由于Sn=2(a1+a2+an)=2=6000所以从1991年到2000年这条船航行的总路程为Sn=6000公里.设第n个月底余额为an ,由于a1=(1+20%)105(1+20%)10510%3103=1.05105,an+1=an(1+20%)an(1+20%)3103=1.08 an3103an+1+3.75104=1.08(an+3.75104)an+3.75104=bn ,b1=1.425105 ,bn为等比数列,bn=b11.08n1 ,an=1.4251051.08n13.75104 ,a12=1.94886105,还贷后纯收入为a12105(1+25%)=69886元5.3225元.用心 爱心 专心 115号编辑 5
