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1、高一数学第三讲 指数与对数函数教师用http:/www.DearEDU.com一、指数与对数运算:1指数规定:1)N*), 2), n个3)Q,4)、N* 且性质:1)、Q),2)、 Q),3) Q)(注)上述性质对r、R均适用.2对数定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数.1)以10为底的对数称常用对数,记作,2)以无理数为底的对数称自然对数,记作基本性质:1)真数N为正数(负数和零无对数), 2),3), 4)对数恒等式:运算性质:如果则1);2);3)R).换底公式:1), 2)(二)学习要点:1指数式与对数式的互化:2要熟练运用初中学习的多
2、项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题:例1计算:(1);(2);(3)解:(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)已知:值(用表示).解析.评析这是一组很基本的指数、对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题:(1)若,则,从小到大依次为 ;(2)若,且,都是正数,则,从小到大依次为 ;(3)设,且(
3、,),则与的大小关系是 ( ) () () () ()解:(1)由得,故 (2)令,则, ,; 同理可得:,(3)取,知选()例3已知,且,求的值 解:由得:,即,; 同理可得,由 得 ,例4设,且,求的最小值解:令 , 由得, ,即, , ,当时,二、指数函数与对数函数1指数函数:定义:函数称指数函数,1)函数的定义域为R, 2)函数的值域为,3)当时函数为减函数,当时函数为增函数.函数图像:1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限,2)指数函数都以轴为渐近线(当时,图象向左无限接近轴,当时,图象向右无限接近轴),3)对于相同的,函数的图象关于轴对称.,函数值的变化特征:
4、2对数函数:定义:函数称对数函数,1)函数的定义域为, 2)函数的值域为R,3)当时函数为减函数,当时函数为增函数,4)对数函数与指数函数互为反函数.1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限,2)对数函数都以轴为渐近线(当时,图象向上无限接近轴;当时,图象向下无限接近轴).,.,.4)对于相同的,函数的图象关于轴对称.函数值的变化特征:(二)学习要点:1解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质,更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识.2指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的12个小点)是解决含指数、对数式的
5、问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要努力提高综合能力.【例1】已知是奇函数 (其中,(1)求的值;(2)讨论的单调性;(3)求的反函数;(4)当定义域区间为时,的值域为,求的值.解析(1)对定义域内的任意恒成立,当不是奇函数,(2)定义域为,求导得,当
6、时,在上都是减函数;当时,上都是增函数;(另解)设,任取,结论同上;(3),(4)上为减函数,命题等价于,即,解得.评析例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题,熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练,要认真总结经验.【例2】对于函数,解答下述问题:(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若函数的值域为R,求实数a的取值范围;(3)若函数在内有意义,求实数a的取值范围;(4)若函数的定义域为,求实数a的值;(5)若函数的值域为,求实数a的值;(6)若函数在内为增函数,求实数a的取值范围.解答记,(1)恒成立,的取值范围是;(2)这是一个较难理解的问题。
7、从“的值域为R”,这点思考,“的值域为R”等价于“能取遍的一切值”,或理解为“的值域包含了区间”的值域为命题等价于,a的取值范围是;(3)应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的,命题等价于“恒成立”,应按的对称轴分类,的取值范围是;(4)由定义域的概念知,命题等价于不等式的解集为,是方程的两根,即a的值为2;(5)由对数函数性质易知:的值域为,由此学生很容易得,但这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价,后者要求能取遍的一切值(而且不能多取).的值域是,命题等价于;即a的值为1;(6)命题等价于:,即,得a的取值范围是.评析学习函数知识及解决函数问题,首先是要非常准确理解与掌握函数中的
8、每个概念,许多函数的概念都有很深刻的内涵,解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同,才能作出准确的解答,并要在学习中不断积累经验. 【例3】解答下述问题:()设集合,若当时,函数的最大值为2,求实数a的值.解析而,令,其对称轴,当,即,适合;当,适合;综上,.()设关于的方程R),(1)若方程有实数解,求实数b的取值范围;(2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解.解析(1)原方程为,时方程有实数解;(2)当时,方程有唯一解;当时,.的解为;令的解为;综合、,得1)当时原方程有两解:;2)当时,原方程有唯一解;3)当时,原方程无解.评析例3是一组具有一些综合性的指数、对数问
9、题,问题的解答涉及指数、对数函数,二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力,这也是指数、对数问题的特点,题型非常广泛,应通过解题学习不断积累经验.三、函数的值域与最值问题例: 求函数解析(初等方法)等号成立时,训练题一、选择题:1若N*,则( )A2BCD2若,则( )A4B16C256D813当时,的大小关系是( )ABCD4若,则a的取值范围是( )ABCD5函数的定义域为1,2,则函数的定义域为( )A0,1B1,2C2,4D4,166若函数上单调递减,则实数a的取值范围是( )A9,12B4,12C4,27D9,27二、填空题:7计算 .8函数是减函数,则实数a的取值范围是 .9若,
10、则实数k的取值范围是 .10已知函数的值域为R,则实数a的取值范围是 .三、解答题:11已知的值. 12已知函数, (1)求的定义域; (2)此函数的图象上是否存在两点,过这两点的直线平行于x轴? (3)当a、b满足什么条件时恰在取正值.13求函数的值域.14在函数的图象上有A、B、C三点,它们的横坐标分别为、,若ABC的面积为S,求函数的值域.15已知函数, (1)讨论的奇偶性与单调性; (2)若不等式的解集为的值; (3)求的反函数; (4)若,解关于的不等式R).参考答案一、选择题:1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A二、填空题710 8 9 1011,而,.12(1),又,故
11、函数的定义域是.(2)问题的结论取决于的单调性,考察这个函数的单调性有三种方法:求导,运用单调性定义,复合分析,但以方法最好.(解一)求导得:,在定义域内单调递增,故不存在所述两点;(解二)任取,则,即在定义域内单调递增,故不存在所述两点;(3)在单调递增,命题等价于:,13,(1)当,即时,;(2)当,即时,上单调递减,值域为.14设A、B、C在轴上的射影分别为A1、B2、C1,令,的值域为15(1)定义域为为奇函数;,求导得,当时,在定义域内为增函数;当时,在定义域内为减函数;(2)当时,在定义域内为增函数且为奇函数,;当在定义域内为减函数且为奇函数,;(3)R);(4),;当时,不等式解集为R;当时,得,不等式的解集为;当用心 爱心 专心 117号编辑 13