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1、高一数学第七讲反函数及函数图象一 知识归纳:1.反函数的概念:一般地,函数y=f(x)(xA)中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x, y的关系,用y把x表示出,得到x=(y),如果对于y在C中的任何一个值,通过x=(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数。这样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数,记作x=f-1(y)。习惯上,我们一般用x表示自变量,用y表示函数,为此对调函数x=f-1(y)中的字母x, y,把它改写成y=f-1(x)。注意:只有单调函数(一一对应的函数)才具有反函数。2.求反函数的步骤:(1)确定原
2、来函数的值域,也就是反函数的定义域(2)将函数y=f(x)看作方程,解出x=f-1(y)(3)将x=f-1(y)中的字母对调得y=f-1(x)3.反函数的图象:(1)函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)和函数x=f-1(y)的图象是同一个图象。(2)如果两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数。(3)点(a, b)在y=f(x)的图象上点(b, a)在y=f-1(x)的图象上。(4)如果一个函数的图象关于直线y=x对称,那么这个函数的反函数就是它本身。 4 . 函数图象不同函数的函数图象是不同的。同一函数由于函数定义域的不同,函数图象
3、也不同。对于分段函数,因根据不同的定义域范围 ,画出各段函数。5. 函数图象的变换(1) 平移变换 将函数y=f(x)的图象向左(向右)平移|k|个单位(k0 向左,k0 向上 ,k0 向下)得y=f(x) +k的图象。(2) 对称变换函数y=f(x)的图象与y=-f(x),y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴,y轴,原点对称。(3) 翻折变换y=f(x) y=|f(x)|作出函数y=f(x)的图象 将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折.y=f(x) y=f(|x|)作出函数y=f(x)的图象 将上述图象y轴右方部分不变,将右方部分以y轴为对称轴向左翻.二.例题讲解【例1
4、】求下列函数的反函数(1) (2)(3) (4) (5) (6)解答:(1) (2)(3)(4) (5) (6)点评:求反函数可以按照反解、互换、求定义域的过程进行,尤其要注意开根号后应选择正确的符号(+或-)。【例2】已知函数,求(1)及其 (2)求的反函数解答:(1), (2)变式:已知的反函数为,求的反函数。解答:反函数为分析:本题应首先明确的反函数并不是,而与互为反函数,所以要求、,可以先求出。其次,利用公式,也可以直接求出,对于,在最后一定要重新确定好自变量的范围。【例3】已知函数有反函数,求解答:点评:要求,有两种方法:1.先求反函数,再将代入.2.考虑反函数是在原函数基础上互换字
5、母而来的,因此要求,即求在原函数中当时,的值。变式:设,的图象与的图象关于直线y=x对称,求。解答:分析:在上一题的基础上,适当的加深,同样的有两种解法:1. 按照先后求、的过程最后得到。2.由, 求即求当的值。代入得到。【例4】点(1,2)既在的图象上,又在它的反函数的图象上,求解答:变式1:的反函数为,求解答:变式2:已知的图象关于直线y=x对称,求m的值。解答:点评:上述三题切合了反函数图象的性质2、3、4,根据性质可以很快的求出答案。【例5】设,分别作出,及的图象。变式:分别作出函数及的图象。(解答略)7.反函数及函数图象复习题一. 选择题1. 下列各函数中,没有反函数的是( )A B
6、.C. D.2. 下列各组函数中,互为反函数的是( )A.和 B.和C.和且 D.和3. 有下列四个命题 函数的反函数是 若在的图象上,则一定在其反函数的图象上 关于直线y=x对称的两个图象一定是互为反函数的一对函数的图象 因为函数和其反函数的图象关于直线y=x对称,所以与的图象不能相交其中错误的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个4. 已知点在的图象上,则下列各点位于其反函数图象上的是( )A. B. C. D. 5. 已知的反函数就是该函数,则( )A.1 B. 1 C.2 D. 2二. 填空题6. 对于函数,分别就下列指定的定义域写出其反函数:(1) 若,则_(2) 若,则_(
7、3) 若,则_7. 已知,则_8. 要使有反函数,则的最小值为_9.函数的图象与的图象关于直线y=x对称,则的增函数区间是_三.作图题1. 2. 3. 4.四.解答题10.求下列函数的反函数(1)(2)(3)11.(1)已知函数的图象过点(1,4),其反函数的图象过点(2,0),求(2)已知,求(3)若函数的图象关于直线y=x对称,确定的关系12.已知的反函数(1) 求的解析式(2) 解不等式参考答案http:/www.DearEDU.com一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.B二、6.(1) (2) (3)7. 8. 9.xy-1o12-2xy-1-2o三、1. 2. y=-1, 可有y=通过平移得到31312xy3.xyy=xO2四、10.(1)(2)(3) 11.(1)由函数的图象过点(1,4)得 由的反函数的图象经过点(2,0),则原函数过点(0,2)得 所以得(2)由得:, 即 (3)的图象关于直线y=x对称,所以的反函数是其自身,即,由得 得即的关系是 12.(1)由,得,(2)不等式 可变形为, , 用心 爱心 专心 115号编辑 7