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1、高一数学第一讲 函数教师用http:/www.DearEDU.com一、映射和函数1、映射定义：设A、B是两个集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射。记为 注意：“多对一”、“一对一”是映射；“一对多”不是映射。2、象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意：（1）A中的每一个元素都有象，且惟一； （2）B中的元素未必有原象，即使有，也未必惟一； （3）a的象记为f（a）。3、函数：设A、B是两个非空数集，若是从集合A到集合B的映射，这个映射叫
2、做从集合A到集合B的函数。记为y=f（x）注意：（1）函数一种特殊的映射； （2）函数三要素：定义域、值域、对应法则；（3）B中的元素未必有原象，即使有原象,也未必惟一；（4）原象集合=定义域，值域=象集合。例1选择题（1），；，；，上述三个对应 是到的映射（2）已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合 （ ） 解法要点：因为，所以例2下列各对函数中表示同一函数的是 。 f (x), g(x)x; f (x)x, g(x); f (x), g(x); f (x)x, g(x); f (x)|x1|, g(x)二、函数的定义域1.能使函数式有意义的自变量x的集合称为函数的定义域（自然定义域）。.
3、2.求函数的定义域的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 例3.（1）求函数的定义域。 解析在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，解得函数定义域为.（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域；解析，所求函数定义域是；例4已知函数的定义域为，函数的定义域为，则 （ ）解析：，令且，故例5.已知函数，（1）若的定义域为R，求实数的取值范围.（2）若的定义域为2，1，求实数a的值.解析由于是由二次（或一次）函数为主体的复合函数，故解答的主要知识是二次函数知识.（1）若，1）当a=1时，定义
4、域为R，适合；2）当a=1时，定义域不为R，不合；若为二次函数，定义域为R，恒成立，；综合、得a的取值范围（2）命题等价于不等式的解集为2，1，显然、是方程的两根，解得a的值为a=2.三、函数的解析式求函数解析式的常用方法：1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2.换元法或配凑法，已知复合函数fg(x)的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);注：一定要注意函数的定义域。例6（1）已知，求；（2）已知，求；解：（1），（或）（2）令（），则，注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法； 例7.已
5、知f(2cosx)=cos2x+cosx,求f(x1)。解法一：(换元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1令u=2cosx(1u3),则cosx=2uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3)f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)解法二：(配凑法）f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1x3),即f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+14(2x4).例8.已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a0,a1,x0),求f
6、(x)的表达式.分析：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.简解：令t=logax(a1,t0;0a1,t1,x0;0a1,x0)四、分段函数例9.函数，则例10.f(x)为定义在R上的偶函数，当x1时，y=f(x)的图象是经过点(2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式。分析：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分
7、段函数是今后高考的热点题型.要注意合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.解：(1)当x1时，设f(x)=x+b 射线过点(2，0).0=2+b即b=2，f(x)=x+2.(2)当1x1时，设f(x)=ax2+2.抛物线过点(1，1)，1=a(1)2+2,即a=1 f(x)=x2+2.(3)当x1时，f(x)=x+2综上可知：f(x)=强化练习一、选择题：1设集合，则下述对应法则中，不能构成A到B的映射的是（ ）A B C D2若函数的定义域为1，2，则函数的定义域是（ ）AB1，2C1，5D3，设函数，则=（ ）A0B1C2D4下面各组函数中为相同函数的是（ ）ABCD1D（提示：作出各
8、选择支中的函数图象）. 2C（提示：由）.3B（提示：由内到外求出）.4D（提示：考察每组中两个函数的对应法则与定义域）5若函数f(x)=(x)在定义域内恒有ff(x)=x,则m等于( )A.3B.C.D.3解析：f(x)=.ff(x)=x,整理比较系数得m=3.答案：A二、填空题：6给定映射，点的原象是或7已知的定义域为，则的定义域为8已知定义在的函数若，则实数 9有下述对应：集合A=R，B=Z，对应法则是，其中，. 集合A和B都是正整数集N*，对应法则是，其中，.集合，对应法则是.集合是三角形，对应法则是的面积. 则其中是集合A到集合B的映射的是 、 ，是集合A到集合B的一一映射的是_三、解答题：10已知是二次函数，且满足.解析：设，+c，11.设二次函数f(x)满足f(x2)=f(x2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式.解析：利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=.12已知是常数，），且（常数）， （1）求的值； （2）若、b的值.解析：（1），上式是关于x的恒等式，若，（2），而，代入上式得，解得，不合，.用心 爱心 专心 117号编辑 6
