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1、高一数学概率部分知识点总结及典型例题解析http:/www.DearEDU.comu 事件:随机事件( random event ),确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )v 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 在次实验中发生了次,当实验的次数很大时,我们称事件A发生的概率为 说明: 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重复事件时某个事件是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然性和必然性对立统一 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 随机事件的频率是
2、指事件发生的次数和总的试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的幅度越来越小,而这个接近的某个常数,我们称之为概事件发生的概率 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值w 概率必须满足三个基本要求: 对任意的一个随机事件 ,有 如果事件x 古典概率(Classical probability model): 所有基本事件有限个 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个,则每一个基本事件发生
3、的概率都是,如果某个事件包含了其中的个等可能的基本事件,则事件发生的概率为 y 几何概型(geomegtric probability model):一般地,一个几何区域中随机地取一点,记事件“改点落在其内部的一个区域内”为事件,则事件发生的概率为 ( 这里要求的侧度不为0,其中侧度的意义由确定,一般地,线段的侧度为该线段的长度;平面多变形的侧度为该图形的面积;立体图像的侧度为其体积 )几何概型的基本特点: 基本事件等可性 基本事件无限多颜老师说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界,在区域内随机地取点,指的是该点落在区域内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能
4、性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。z互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件 对立事件(complementary events):两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ,事件的对立事件 记为:独立事件的概率:,若颜老师说明: 若可能都不发生,但不可能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空集 对立事件是指的两个事件,而且必须有一个发生,而互斥事件可能指的很多事件,但最多只有一个发生,可能都不发生 对立事件一定是互斥事件 从集合论来看:表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事件的并集是
5、全集 ,而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是1 ,而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 若事件是互斥事件,则有 一般地,如果 两两互斥,则有 在本教材中 指的是 中至少发生一个 在具体做题中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解题,就按照那种概型的书写格式,最重要的是要设出所求的事件来 ,具体的格式请参照我们课本上(新课标试验教科书-苏教版)的例题|例题选讲:例1. 在大小相同的6个球中,4个是红球,若从中任意选2个,求所选的2个球至少有一个是红球的概率?【分析】题目所给的6个球中有4个红球,2个其它颜色的球,我们可以根据不同的思路有不同的解法解法
6、1:(互斥事件)设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ,则其互斥事件为 意义为“选取2个球都是其它颜色球” 答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .解法2:(古典概型)由题意知,所有的基本事件有种情况,设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ,而事件所含有的基本事件数有 所以答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .解法3:(独立事件概率)不妨把其它颜色的球设为白色求,设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ,事件有三种可能的情况:1红1白;1白1红;2红,对应的概率分别为:, 则有 答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .评价:本题重点考察我们对于概率基本知识的理解,综合所
7、学的方法,根据自己的理解用不同的方法,但是基本的解题步骤不能少!变式训练1: 在大小相同的6个球中,2个是红球,4 个是白球,若从中任意选取3个,求至少有1个是红球的概率?解法1:(互斥事件)设事件 为“选取3个球至少有1个是红球”,则其互斥事件为, 意义为“选取3个球都是白球”答:所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .解法2:(古典概型)由题意知,所有的基本事件有种情况,设事件 为“选取3个球至少有1个是红球” ,而事件所含有的基本事件数有, 所以 答:所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .解法3:(独立事件概率)设事件 为“选取3个球至少有1个是红球” ,则事件的情况如下: 红 白 白
8、 1红2白 白 白 红 白 红 白 红 红 白 2红1白 红 白 红 白 红 红 所以 答:所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .变式训练2:盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回的从中任抽2次,每次抽取1只,试求下列事件的概率:(1)第1次抽到的是次品(2)抽到的2次中,正品、次品各一次解:设事件为“第1次抽到的是次品”, 事件为“抽到的2次中,正品、次品各一次”则 ,(或者)答:第1次抽到的是次品的概率为 ,抽到的2次中,正品、次品各一次的概率为变式训练3:甲乙两人参加一次考试共有3道选择题,3道填空题,每人抽一道题,抽到后不放回,求(1)甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率?(2)
9、求至少1人抽到选择题的概率?【分析】(1)由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的,所以可以用独立事件的概率(2)事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件,所以可以用互斥事件的概率来解:设事件为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”,事件为“至少1人抽到选择题”,则为“两人都抽到填空题” (1)(2) 则 答:甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 ,少1人抽到选择题的概率为 .变式训练4:一只口袋里装有5个大小形状相同的球,其中3个红球,2 个黄球,从中不放回摸出2个球,球两个球颜色不同的概率?【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球,要么是1黄1球略
10、解:变式训练5:设盒子中有6个球,其中4个红球,2 个白球,每次人抽一个,然后放回,若连续抽两次,则抽到1个红球1个白球的概率是多少?略解: 例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品,在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池,当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时,物品会失效,假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的(不考虑落在正方形区域范围之外的),求发放急救物品无效的概率?【分析】为题属于几何概型,切是平面图形,其测度用面积来衡量解:如图,设急救物品投放的所有可能的区域,即边长为1千米的正方形为区域 ,事件“发放急救物品无效”为 ,距离水池10米范围
11、为区域 ,即为图中的阴影部分, 则有答:略颜老师说明:这种题目要看清题目意思,为了利用几何概率,题目中一般都会有落在所给的大的区域之外的不计的条件,但如果涉及到网格的现象是一般则不需要这个条件,因为超出一个网格,就会进入另外一个网格,分析是同样的变式训练1:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币的直径的2倍,向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计,求硬币完全落在正方形内的概率?略解:变式训练2:如图,设有一个正方形网格,其中每个小正三角形的边长都是 , 现有一直径等于的硬币落在此网格上,求硬币落下后与网格有公共点的概率?【分析】因为圆的位置由圆心确定,所以要与网格线有公共点只要圆心到网格
12、线的距离小于等于半径解:如图,正三角形内有一正三角形 ,其中 ,当圆心落在三角形 之外时,硬币与网格有公共点 答:硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 .变式训练3:如图,已知矩形 的概率?略解:变式训练4:平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r a的硬币,任意的抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率?解:设事件为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币的位置,有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线,垂足为, 线段的长度的取值范围为 ,其长度就是2a几何概型所有的可能性构成的区域的几何测度,只有当时,硬币不与平行线相碰,其长度就是满足事件 的区域的几何测度,所以答:硬币不
13、与任何一条平行线相碰的概率为【评价与链接】该题是几何概型的典型题目,要求我们正确确认区域和区域,理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。蒲丰投针问题:平面上画有等距离的一系列的平行线,平行线间距离为() ,向平面内任意的投掷一枚长为的针,求针与平行线相交的概率? 解:以表示针的中点与最近的一条平行线的距离,又以表示针与此直线的交角,如图易知 ,有这两式可以确定平面上的一个矩形,这是为了针与平行线相交,其充要条件为,有这个不等式表示的区域为图中的阴影部分,由等可能性知 2a 如果,而关于的值,则可以用实验的方法,用频率去近似它,既: 如果 投针N 次,其中平行线相交的次数为n次,则频率为 ,于是
14、, 注释:这也是历史上有名的问题之一,用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率,再用频率近似概率来建立等式,进而求出. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算 ,如中国的祖冲之父子俩,还有撒豆试验,也是可以用来求 的.会面问题:甲乙两人约定在6时到7时在某地会面,并约定先到者等候另一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率?解:设“两人能会面”为事件,以 x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的充要条件为: 在平面上建立如图所示的坐标系,则的所有可能的结果是边长为60的正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示,由几何概型知,答:两人能会面的概率 . 课本上一道例题的变式训练:如图,在等腰直角三角形中,在斜边上任取一点,求的概率?【分析】点随机的落在线段上,故线段为区域,当点位于如图的内时,故线段即为区域解: 在上截取 ,于是 答:的概率为【变式训练】如图,在等腰直角三角形中,在内部任意作一条射线,与线段交于点,求的概率? 错解:在上截取 ,在内部任意作一条射线,满足条件的看作是在线段上任取一点,则有 【分析】这种解法看似很有道理,但仔细一看值得深思,我们再看看题目的条件已经发生了改变,虽然在线段上取点是等可能的,但过和任取得一点所作的射线是均匀的,所以不能把等可能的取点看作是等