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1、变量间的相关关系 2 3 1 2 小明 你数学成绩不太好 物理怎么样 也不太好啊 学不好数学 物理也是学不好的 哲学原理 世界是一个普遍联系的整体 任何事物都与周围其它事物相联系 数学地理解世界 你认为老师的说法对吗 事实上 我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时 还必须考虑到其他的因素 爱好 努力程度 如果单纯从数学对物理的影响来考虑 就是考虑这两者之间的相关关系 我们在生活中 碰到很多相关关系的问题 物理成绩 数学成绩 学习兴趣 花费时间 其他因素 商品销售收入 广告支出经费 粮食产量 施肥量 人体脂肪含量 年龄 1 商品销售收入与广告支出经费之间的关系 商品销售收入与广告支出经费之间有着
2、密切的联系 但商品收入不仅与广告支出多少有关 还与商品质量 居民收入等因素有关 在一定范围内 施肥量越大 粮食产量就越高 但是 施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素 因为粮食产量还要受到土壤质量 降雨量 田间管理水平等因素的影响 2 粮食产量与施肥量之间的关系 在一定年龄段内 随着年龄的增长 人体内的脂肪含量会增加 但人体内的脂肪含量还与饮食习惯 体育锻炼等有关 可能还与个人的先天体质有关 3 人体内脂肪含量与年龄之间的关系 以上种种问题中的两个变量之间的相关关系 我们都可以根据自己的生活 学习经验作出相应的判断 规律是经验的总结 不管你多有经验 只凭经验办事 还是很容易出错的 因此在寻找变量间
3、的相关关系时 我们需要一些更为科学的方法来说明问题 在寻找变量间的相关关系时 统计同样发挥了非常重要的作用 我们是通过收集大量的数据 对数据进行统计分析的基础上 发现其中的规律 才能对它们之间的关系作出判断 1 两个变量之间的相关关系 两个变量间存在着某种关系 带有不确定性 随机性 不能用函数关系精确地表达出来 我们说这两个变量具有相关关系 相关关系 当自变量取值一定 因变量的取值带有一定的随机性 非确定性关系 函数关系 函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的 注 相关关系和函数关系的异同点 相同点 两者均是指两个变量间的关系 不同点 函数关系是一种确定关系 相关关系是一种非确
4、定的关系 对相关关系的理解 1 下列两变量中具有相关关系的是 A角度和它的余弦值B正方形的边长和面积C成人的身高和视力D身高和体重 D 练习 问题 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中 研究人员获得了一组样本数据 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数 根据上述数据 人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系 思考1 对某一个人来说 他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少 但是如果把很多个体放在一起 就可能表现出一定的规律性 观察上表中的数据 大体上看 随着年龄的增加 人体脂肪含量怎样变化 思考2 为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系 我们需要对数据进行分析 通过
5、作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象 以x轴表示年龄 y轴表示脂肪含量 你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗 思考3 上图叫做散点图 你能描述一下散点图的含义吗 在平面直角坐标系中 表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形 称为散点图 散点图 3 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就有线性相关关系 1 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上 就用该函数来描述变量之间的关系 即变量之间具有函数关系 2 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近 变量之间就有相关关系 说明 散点图 用来判断两个变量是否具有相关关系 观察散点图的大致趋势 两个变量的散点图中点的分布的位置是从左下角
6、到右上角的区域 我们称这种相关关系为正相关 思考4 如果两个变量成负相关 从整体上看这两个变量的变化趋势如何 其散点图有什么特点 散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域 思考5 你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗 如高原含氧量与海拔高度的相关关系 海平面以上 海拔高度越高 含氧量越少 作出散点图发现 它们散布在从左上角到右下角的区域内 又如汽车的载重和汽车每消耗1升汽油所行使的平均路程 称它们成负相关 O 2 下列关系属于负相关关系的是 A 父母的身高与子女的身高B 农作物产量与施肥的关系C 吸烟与健康的关系D 数学成绩与物理成绩的关系 C 练习 如果散点图中点的分布从整体上看
7、大致在一条直线附近 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线就叫做回归直线 这条回归直线的方程 简称为回归方程 三 回归直线 1 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上 变量之间具有函数关系2 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近 变量之间就有相关关系3 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就有线性相关关系只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候 才可以说两个变量之间具有线性关系 才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念 才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系 整体上最接近 方案一 采用测量的方法 先画一条直线 测量出各点到它的距离 然后移动直线 到达一个使距离之和最
8、小的位置 测量出此时直线的斜率和截距 就得到回归方程 四 如何具体的求出这个回归方程呢 方案二 在图中选取两点画直线 使得直线两侧的点的个数基本相同 三 如何具体的求出这个回归方程呢 方案三 在散点图中多取几组点 确定几条直线的方程 分别求出各条直线的斜率和截距的平均数 将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距 三 如何具体的求出这个回归方程呢 上述三种方案均有一定的道理 但可靠性不强 我们回到回归直线的定义 求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 从整体上看 各点与直线的偏差最小 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线就叫做回归直线
9、 思考6 对一组具有线性相关关系的样本数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 设其回归方程为可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度 回归直线 实际上 求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画 从整体上看 各点到此直线的距离最小 这样的方法叫做最小二乘法 人们经过长期的实践与研究 已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式 以上公式的推导较复杂 故不作推导 但它的原理较为简单 即各点到该直线的距离的平方和最小 这一方法叫最小二乘法 思考7 利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值 若某人65
10、岁 则其体内脂肪含量的百分比约为多少 37 1 0 577 65 0 448 37 1 若某人65岁 可预测他体内脂肪含量在37 1 0 577 65 0 448 37 1 附近的可能性比较大 但不能说他体内脂肪含量一定是37 1 原因 线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的 存在随机误差 这种误差可以导致预测结果的偏差 即使截距斜率没有误差 也不可能百分百地保证对应于x 预报值Y能等于实际值y 例3 有一个同学家开了一个小卖部 他为了研究气温对热饮销售的影响 经过统计 得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表 1 画出散点图 2 从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律 3
11、求回归方程 4 如果某天的气温是2摄氏度 预测这天卖出的热饮杯数 1 散点图 2 从图3 1看到 各点散布在从左上角到由下角的区域里 因此 气温与热饮销售杯数之间成负相关 即气温越高 卖出去的热饮杯数越少 3 从散点图可以看出 这些点大致分布在一条直线的附近 因此利用公式求出回归方程的系数 Y 2 352x 147 767 4 当x 2时 Y 143 063因此 某天的气温为2摄氏度时 这天大约可以卖出143杯热饮 小结 1 求样本数据的线性回归方程 可按下列步骤进行 第一步 列表计算平均数 第二步 求和 第三步 计算 第四步 写出回归方程 总结 基础知识框图表解 变量间关系 函数关系 相关关
12、系 散点图 线形回归 线形回归方程 1 相关关系 1 概念 自变量取值一定时 因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系 2 相关关系与函数关系的异同点 相同点 两者均是指两个变量间的关系 不同点 函数关系是一种确定关系 是一种因果系 相关关系是一种非确定的关系 也不一定是因果关系 但可能是伴随关系 3 相关关系的分析方向 在收集大量数据的基础上 利用统计分析 发现规律 对它们的关系作出判断 2 两个变量的线性相关 1 回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析 通俗地讲 回归分析是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性 2 散点图A 定义 B 正相关 负相关 3
13、 回归直线方程 注 如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状 则这两个变量之间不具有相关关系 3 回归直线方程 1 回归直线 观察散点图的特征 如果各点大致分布在一条直线的附近 就称两个变量之间具有线性相关的关系 这条直线叫做回归直线 2 最小二乘法 3 利用回归直线对总体进行估计 变式 广东高考 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y 吨标准煤 的几组对照数据 1 请画出上表数据的散点图 2 根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 3 由 2 预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤 参考数值 2 2 5 3 3 4 4 5 4 5 52 5 解 1 由题设所给数据 可得散点图如图 2 对照数据由最小二乘法确定的回归方程的系数为 3 5 0 7 3 5 1 05 因此 所求的线性回归方程为 0 7x 1 05 3 当x 100时 所以技改后生产100吨甲产品的生产能耗是71 05吨标准煤
