《第一轮数学：9.13 立体几何的综合问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一轮数学：9.13 立体几何的综合问题.doc（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.13 立体几何的综合问题知识梳理1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.平面图形的翻折，空间向量的应用.点击双基1.若RtABC的斜边BC在平面内，顶点A在外，则ABC在上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面ABC时，为一条线段，结合选择肢，知选D.答案：D2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C3.设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角
2、线的夹角为60，则长方体的体积是A.27 B.8 C.8 D.16解析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由22+22+x2=42x=2，V=222=8.答案：B4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_.解析：易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R3= a3.答案：a35.已知ABC的顶点坐标为A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积是_.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos，=，sinA=.S=|sinA= .答案：典例剖析【例1】 在直角坐标系Oxyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0
3、）， =（0，0，1）.（1）求与的夹角的大小；（2）设n=（1，p，q），且n平面SBC，求n；（3）求OA与平面SBC的夹角；（4）求点O到平面SBC的距离；（5）求异面直线SC与OB间的距离.解：（1）如图，= =（2，0，1），= + =（1，1，0），则|=，|=.cos=cos，=，=arccos.（2）n平面SBC，n且n，即 n=0，n=0.=（2，0，1），= =（1，1，0），即n=（1，1，2）. 2q=0， p=1，1p=0. q=2，（3）OA与平面SBC所成的角和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求与n所成的角.=（0，1，0），|=1，|n|=.cos，n=
4、，即，n=arccos.=arccos.（4）点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值，d=|= .（5）在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC、OB均垂直的向量m.设m=（x，y，1），m且m，则m=0，且m=0.即 2x1=0， x=，x+y=0， y=.m=（，1），d=|= =.特别提示借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距离.【例2】 如图，已知一个等腰三角形ABC的顶角B=120，过AC的一个平面与顶点B的距
5、离为1，根据已知条件，你能求出AB在平面上的射影AB1的长吗?如果不能，那么需要增加什么条件，可以使AB1=2?解：在条件“等腰ABC的顶角B=120”下，ABC是不能唯一确定的，这样线段AB1也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使AB1=2：CB1=2；CB=或AB=；直线AB与平面所成的角BAB1=arcsin；ABB1=arctan2；B1AC=arccos；AB1C=arccos；AC=；B1到AC的距离为；B到AC的距离为；二面角BACB1为arctan2等等.思考讨论本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若AB1=2，那么能够推出什么结果，再回过来考虑根据这一结果能否
6、推出AB1=2.【例3】 （2004年春季北京）如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，（1）求证：BCSC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.（1）证法一：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂线定理得BCSC.证法二：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，SDBC.又DCSD=D，BC平面SDC.BCSC.（2）解法一：SD底面
7、ABCD，且ABCD为正方形，可以把四棱锥SABCD补形为长方体A1B1C1SABCD，如上图，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，SCBC，BCA1S，SCA1S.又SDA1S，CSD为所求二面角的平面角.在RtSCB中，由勾股定理得SC=，在RtSDC中，由勾股定理得SD=1.CSD=45，即面ASD与面BSC所成的二面角为45.解法二：如下图，过点S作直线lAD，l在面ASD上.底面ABCD为正方形，lADBC.l在面BSC上.l为面ASD与面BSC的交线.SDAD，BCSC，lSD，lSC.CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.（以下同解法
8、一）.（3）解法一：如上图，SD=AD=1，SDA=90，SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点，DMSA.BAAD，BASD，ADSD=D，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂线定理得DMSB.异面直线DM与SB所成的角为90.解法二：如下图，取AB的中点P，连结MP、DP.在ABS中，由中位线定理得PMBS.DM与SB所成的角即为DMP.又PM2=，DP2=，DM2=.DP2=PM2+DM2.DMP=90.异面直线DM与SB所成的角为90.闯关训练夯实基础1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的值为A.180
9、B.120C.60 D.45答案：C2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为A.arccos B.arccosC.arccosD.arccos解法一：=+，= +，=（+）（+）= .而|= = = .同理，|=.如令为所求之角，则cos=，=arccos.应选D.解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，把D点视作原点O，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0）、M（1，1）、C（0，1，0）、N（1，1，）.=（0，1），=（1，0，）.故=01+0+1=，|=，|=.cos=.=arccos.答案：
10、D3.图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干.现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为_.解析：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，则V水=V柱V=S2a（S）2a=aS.设图甲中水面的高度为x，则Sx=aS，得x=a.答案：4.在三棱锥PABC中，底面是边长为2 cm的正三角形，PA=PB=3 cm，转动点P时，三棱锥的最大体积为.解析：点P到面ABC距离最大时体积最大，此时面PAB面ABC，高PD=2.V=42= .答案： cm35.把长、宽各为4、3的长方形ABCD，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和顶点D的距离.解：如图
11、，作BEAC于E，二面角BACD为直二面角，BEAC， BE平面ADC，DE平面ADC，BEDE.在RtABC中，可得BE=，AE=，在ADE中，DE2=AE2AD22ADAEcosEAD=1624=.在RtBDE中，BD=BE2ED2=.培养能力6.已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF；（3）求异面直线PA和EF的距离.（1）证明：如下图，APE=APF=90，PEPF=P，PA平面PEF.EF平面PEF，PAEF.（2）证明：APE
12、=EPF=90，APPF=P，PE平面APF.又PE平面PAE，平面APE平面APF.（3）解：在面PEF中，作PGEF，垂足为G，AP与面PEF垂直，PG平面PEF，APPG，PGEF，PG是AP与EF的公垂线.在等腰RtPEF中，PE=PF=，EPF=90，PG=EG=.7.（文）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，PA底面ABCD，PD与底面成30角.（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成的角.（1）证明：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0
13、，0），B（a，0，0），D（0，2a，0），P（0，0，a）， =（a，0，0）（0，2a，a）=0，又 =0，.PDBE.（2）解：PA面ABCD，PD与底面成30角，PDA=30.过E作EFAD，垂足为F，则AE=a，EAF=60，AF=a，EF=a，E（0，a，a）.于是=（0，a，a）.又C（a，a，0），D（0，2a，0），CD=（a，a，0）.cos，=，异面直线AE与CD所成的角是arccos.（理）四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，B=C=90，CDAB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与平面ABC成30角，（1）求证：CM面PAD；（2）求证：面PAB面PAD；（3）求点C到平面PAD的距离.分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法.如下图，建立空间直角坐标系Oxyz，C为坐标原点O，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标.（1）证明：如图，建立空间直角坐标系.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABC所成的角，即PBC=30.|PC|=2，|BC|=2，|PB|=4.得D（1，0，0）、B（0，
