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1、对应学生书P261一、选择题1(2009陕西)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.B.C.D.解析：由正方体的对称性可知，任意两个面的中心的连线长度相等，故所得凸多面体为两个共底的特殊正四棱锥，且其棱长均为1，如图，在正四棱锥PO1O2O3O4中，底面O1O2O3O4为正方形，易得其面积为1，在三角形PO2O4中，易求得其高为，故VPO1O2O3O41，从而所求凸多面体的体积为2VPO1O2O3O4，选B. 答案：B2(2009辽宁)如果把地球看成一个球体，那么地球上北纬60纬线长和赤道线长的比值为()A0.8 B0.75 C0.5 D0.25解析：设地球
2、半径为R，北纬60纬线圈半径为r，rRcos60R.故所求的比值为(2)(2R)120.5. 答案：C3设地球半径为R，若甲地位于北纬45东经120，乙地位于南纬75东经120，则甲、乙两地的球面距离为()A.R B.R C.R D.R解析：由题意，甲、乙两地所在大圆的圆心角4575120.故甲、乙两地球面距离为LRR.答案：D4(2011衡水市质量监测)点P在直径为的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是()A. B6 C. D.解析：(1)点P为顶点，以过点P两两垂直的三条弦为棱作一个长方体，设其中一条弦长为a，另一条弦长为2a，第三条
3、弦长为b，则由题意，得5a2b26.令a cos，bsin，则三条弦长之和为3ab3cossin，其最大值为 ，选D.答案：D5(2008四川)设M是球O半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为()A. B. C. D.解析：设球半径为2R，依题意得过M，O作垂直于OP的平面，截球面得到两个圆的半径的平方分别是(2R)2R23R2，(2R)24R2，因此这两个圆的面积之比为，选D.答案：D6棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为()A. B1 C1 D.
4、解析：如图所示，设球O的半径为R，则4R23，R.过球心O作平行于底面的截面，如图所示OQR，OH，故PQ2HQ22 2 .答案：D7(2010新课标全国卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2 C.a2 D5a2解析：三棱柱如图所示，由题意可知，球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处，连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R.由题意知，O1B，于是半径R222，从而球的表面积是S4R2.答案：B8(2010全国)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若ABCD2，则四面体ABCD的体积的最大值为()
5、A. B. C2 D.解析：设球心为O，如图，过O、C、D三点作球的截面，交AB于点M，由条件知，OAB、OCD均为边长为2的等边三角形设M到CD的距离为h，A到面MCD的距离为h1，B到面MCD的距离为h2，则VABCDVAMCDVBMCDSMCD(h1h2)CDh(h1h2)，因此，当AB面MCD时，VABCD22(11)最大答案：B二、填空题9如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求高为，所以体积V11.答案：10(2008安徽)
6、已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB平面BCD，BCCD.若AB6，AC2，AD8，则B、C两点间的球面距离是_解析：依题意，可将A、B、C、D四点视为某一长方体的四个顶点，它们同在该长方体的外接球O的表面上，如图所示，则BC4，球O的半径R4，则BC所对应的球心角为60，所以B、C两点间的球面距离为2R24.答案：11(2008辽宁)在体积为4的球的表面上有A、B、C三点，AB1，BC，A、C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_解析：记球心为O，半径为R，则有R34，R，设AOC，由A，C两点的球面距离为，得，AC.又AB1，BC，所以AB2BC2AC2，ABBC，ABC的外接
7、圆半径是AC，于是球心到平面ABC的距离为 .答案：12(2009陕西)如图，球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O，A、B是圆O1上两点若AO1B，则A、B两点间的球面距离为_解析：OBOA2，O1O，O1A，AB2.OAB为正三角形，AOB.A、B两点间的球面距离为2. 答案：三、解答题13已知三棱锥VABC中，VA底面ABC，ABC90.(1)求证：V、A、B、C四点在同一个球面上；(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形证明：(1)如图所示，取VC的中点M，VA底面ABC，且ABC90，BC平面VAB.BCVB.在RtVBC中，M为VC的中点，MB
8、MCMV.同理在RtVAC中，MAMCMV.VMAMBMCM.V、A、B、C四点在同一球面上(2)如图所示，取AC、AB、VB的中点为N、P、Q，连接NP、PQ、QM、MN，则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥VABC的截面易知MNPQ是平行四边形，又VABC，PQVA，NPBC，PQPN，故截面MNPQ是矩形14已知A、B、C是半径为1的球O的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，求：(1)BOC，AOB的大小；(2)球心O到截面ABC的距离解析：(1)OAOBOC1，B、C两点间的球面距离为，BOC.又点A与B、C两点间的球面距离均为，可得AOCAOB.(2
9、)在三棱锥OABC中，过O作OHABC，垂足为H，连接AH、BH、CH.OAOBOC1，AHBHCHr(r为ABC外接圆的半径)由AOB，得AB，AC.又BOC，OBOC1，所以BC1.由余弦定理，得cosBAC，sinBAC，结合正弦定理有r，OH，即球心O到截面ABC的距离为. 15如图所示，四棱锥ABCDE中，AD底面BCDE，ACBC、AEBE.(1)求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；(2)若CBE90，CE，AD1，求B、D两点间的球面距离解析：(1)AD底面BCDE，ADBC、ADBE.又ACBC，AEBE，BCCD，BEED.B、C、D、E四点共圆，即BD为此圆的直径取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，则MNAD.MN底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有ANBNCNDNEN，五点共球且直径为AB.(2)若CBE90，则底面四边形BCDE是一个矩形，连接DN.CE，AD1，BD，MN.RBN1，BNM，BND.B、D两点间的球面距离是l|R.7用心 爱心 专心
