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1、1 3本章的主要解题方法 1 3 1行列式的计算方法1 用行列式展开式法 计算三 四阶行列式常用此方法 例1 3 1计算三阶行列式 解用行列式展开式法 按第一行展开 即 例1 3 2计算四阶行列式 对四阶及四阶以上的行列式 计算它的最基本的方法也是用行列式展开式 即按某一行或某一列来展开用该行或该列的所有元素与其相应的代数余子式乘积之和 一般选择含零元素较多的那一行或那一列 解方法一按行展开式法 按第一行来展开 即 方法二按列展开式法 按第一列来展开 即 可见 行列式按某一行或某一列来展开 只要计算正确 结果应当是一样的 一般情况下总是选取含零元素较多的那一行或那一列来展开 这样计算比较简单方
2、便 例1 3 3计算五阶行列式 解用行 列展开式法 即行展开 列展开综合使用的方法 即选取含零元素较多的那一行或那一列来展开 得 上面最后一个三阶行列式的计算 当然可以用行列式的展开式法来计算 但是 我们注意到这个三阶行列式的第一行与第三行的元素相同 由行列式的性质2可知 这个三阶行列式的值为零 这是利用行列式的性质得到的结果 也是一种行列式的重要计算法 2 用行列式性质法 1 化上三角法上 下 三角行列式的计算是比较容易的 其值等于主对角线所有元素的乘积 所以 利用行列式的性质将行列式化为上 下 三角行列式 是计算行列式时经常使用的一种方法 而且 将所求的行列式化为上 下 三角行列式的过程是
3、这几条性质综合运用的结果 其中最重要的是性质7的灵活运用 以化为上三角行列式为例 首先将主对角线下方第一列 的元素全部化为零 然后依次将主对角线下的第二列 第三列 直到第n 1列元素化为零 一般情况下 为了避免分数运算 应先将主对角线元素变成1或 1 例1 3 4计算行列式 解用化上三角法 在计算中 分数运算总是比较麻烦的 所以 如果行列式中含有分数元素 利用性质5每行先提取公因子 然后进行整数运算比较简便 即 例1 3 5计算行列式 解用化上三角法 这个三阶行列式中各元素的数字都比较大 直接用行列式的展开式法计算肯定是很麻烦的 但我们观察到 第二列的诸元素与第三列的相应元素恰好相差100 2
4、 造零降阶法用行列式性质使其行列式中的零元素增多 然后按零元素较多的那一行或那一列来展开 使其降阶 再反复利用这种方法 直至降到三阶或二阶行列式 最后直接计算 这种方法称为造零降阶法 例1 3 6计算三阶行列式 解用造零降阶法 这是一个带有参数的三阶行列式 一般容易考虑用行列式的展开式法 但要分解为一次因式的乘积有时就比较麻烦 在这种情况下 用造零降阶法去计算行列式比较好 有 例1 3 7计算四阶行列式 解用造零降阶法 即 3 用递推公式或加 边 法 计算n阶行列式 例1 3 8计算n阶行列式 解方法一用递推公式法 把第一列的各个元素分别写成两个元素的和 利用行列式性质6可得到 把上式中后一个
5、n阶行列式的第一行乘以 1分别加至第二行 第三行 第n行 于是得 故得到递推公式 n 1 2 利用递推公式 依次类推得 所以 方法二用加 边 法 将添加一行一列 但使其值不变 即 将此行列式的第一行乘以 1分别加至各行 得 当x a时 计算有 当时 第二行至第n 1行分别乘以加至第一行 得 这是一个下三角行列式 所以 总而言之 不管x a 还是 都有 方法三用化上三角形法 将第一行乘以 1 分别加到第二至第n行 得 将上述行列式的第二列至第n列都加到第一列 有 方法四用行列式性质法 将第二行至第n行都加到第一行 得 将上述行列式的第一行乘以 a 分别加到第二行至第n行 有 由此例可见 计算行列
6、式的方法很多 也很灵活 要掌握行列式的计算方法 应加强练习 在练习中总结经验和方法 1 3 2用克拉默法则求解线性方程组的方法例1 3 9k取什么值时 下面方程组有惟一解 有唯一解时求出解 解这是三个未知量三个方程的线性方程组 由克拉默法则知 当系数行列式时 方程组有唯一解 由 知 当时 即当且时 线性方程组有惟一解 计算 于是 当且时 线性方程组有惟一解 其解为 问 在本题中 k取什么值时 方程组无解 1 4本章的自测题 一 填空题1 非零元素只有n 1个的n阶行列式的值等于 参考答案 2 参考答案 3 参考答案 4 参考答案 5 n阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是 按第j列展
7、开的公式是 参考答案 6 参考答案 18 7 中a的代数余子式为 参考答案 二 单项选择题 1 的解为 A B C D 参考答案 2 若 则 A 2 B 2 C 0 D 3 参考答案 3 是按 展开的 A 第2列 B 第2行 C 第1列 D 第1行 参考答案 4 设则下式中 是正确的 A B C D 参考答案 5 的的代数余子式的值为 A 3 B 3 C 5 D 5 参考答案 三 是非题 1 参考答案 2 参考答案 3 参考答案 4 参考答案 5 n阶行列式中元素的代数余子式为n 1行列式 参考答案 7 参考答案 8 若方程个数与未知量个数相等且系数行列式 则方程组一定有解 参考答案 四 计算行列式 1 参考答案 2 参考答案 3 参考答案 2 4 参考答案 18 5 参考答案 4 6 参考答案 6 五 解行列式方程参考答案
