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1、第二节排列的逆序数 一 概念的引入二 排列的逆序数三 对换四 小结 思考题 一 排列的逆序数引入说明 我们已介绍了2 3阶行列式 我们希望将概念推广到n阶的情况 为此 需引入逆序数的概念来确定行列式展开式中项的符号 定义 排列的逆序数 在一个排列中 若数则称这两个数组成一个逆序 例如排列32514中 我们规定各元素之间有一个标准次序 n个不同的自然数 规定由小到大为标准次序 二 排列的逆序数 定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 例如排列32514中 32514 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为3 1 0 1 0 5 例 1 用多种方法求排列16352487的逆序数 2 的取值范围
2、 3 求n n 1 21的逆序数 4 若求 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 排列的奇偶性 三 对换 定义 在排列中 将任意两个元素对调 其余元素不动 这种作出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对调 叫做相邻对换 例如 对换与排列的奇偶性的关系 定理1一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 证明 设排列为 除外 其它元素的逆序数不改变 当时 经对换后的逆序数不变 的逆序数减少1 因此对换相邻两个元素 排列改变奇偶性 设排列为 当时 现来对换与 所以一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 定理2在全部阶排列中 奇偶排列各占一半 2排列具有奇偶性 3计算排列逆序数常用的方法有多种 1个不同的元素的所有排列种数为 四 小结 4对换改变排列的奇偶性 计算法的本质 本质为计算排列中的每一元与其前面的元所产生的逆序数 然后逐个相加 即得排列的逆序数 各种方法的区别在于计算排列中每一元的逆序数的顺序 第一种方法是按元本身从小到大计算 而第二种方法是按元后在的位置从右往左计算
