《线性代数 同济大学课件 第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 同济大学课件 第二章（93页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第二章矩阵及其运算 2 1矩阵 线性方程组与矩阵的对应关系 3 4 简记为 的 i j 元素 5 同型矩阵 两个矩阵的行数相等 列数也相等 矩阵相等 6 一些特殊的矩阵 零矩阵 ZeroMatrix 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的 元素全为零的矩阵称为零矩阵 零矩阵记作或 7 行矩阵 RowMatrix 列矩阵 ColumnMatrix 只有一行的矩阵 称为行矩阵 或行向量 只有一列的矩阵 称为列矩阵 或列向量 8 方阵 SquareMatrix 是3阶方阵 行数与列数都等于n的矩阵 称为n阶方阵 或n阶矩阵 记作An 9 对角阵 DiagonalMatrix 主对角线以外的元素都为零的
2、方阵 10 数量矩阵 ScalarMatrix 主对角元素全为非零常数k 其余元素全为零的方阵 11 单位矩阵 IdentityMatrix 主对角元素全为1 其余元素都为零的方阵 记作 12 例3 13 线性变换与矩阵之间的对应关系 恒等变换 单位阵 14 2矩阵的基本运算 一 矩阵的加法 设有两个矩阵那末矩阵A与B的和记作A B 规定为 定义2 15 注意 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 16 负矩阵 称为矩阵A的负矩阵 17 矩阵加法满足的运算规律 18 二 数与矩阵相乘 定义3 19 20 数乘矩阵满足的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵运算合起来 又称为矩阵的线性运算 设A
3、B为m n矩阵 l m为数 21 定义4 并把此乘积记作C AB 三 矩阵与矩阵相乘 设是一个m s矩阵 是 一个s n矩阵 那末规定矩阵A与矩阵B 的乘积是一个m n矩阵 其中 s s 22 23 例 24 25 26 1 矩阵乘法不满足交换律 注意 设 A左乘B B右乘A 27 2 矩阵乘法不满足消去律 设 但 注意 28 29 矩阵乘法满足的运算规律 30 若A是n阶方阵 则为A的次幂 即 方阵的幂 并且 31 方阵的多项式 32 例 设 求 33 34 四 矩阵的转置 定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作 例 35 转置矩阵满足的运算规律 36 例5 已
4、知 37 解1 38 解2 39 对称阵的元素以主对角线为对称轴 对称阵 设A为n阶方阵 如果满足 即那末A称为对称阵 40 反对称阵 设A为n阶方阵 若满足 即则称A为反对称阵 显然 反对称阵的主对角元都是零 41 例 注 对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵 42 五 方阵的行列式 定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 叫做方阵A的行列式 记作 A 或detA 43 运算规律 44 定义 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵 45 46 性质 47 3逆矩阵 定义 设A是n阶矩阵 若存在n阶矩阵B使 AB BA E 则称A是可逆的 并称B是A的逆矩阵 48 若A是
5、可逆矩阵 则A的逆矩阵是唯一的 记A的逆矩阵为 49 定理1 证明 n阶方阵A可逆充要条件是 A 0 且 当A可逆时 A可逆 存在B 使得AB E 于是 A B E 1 即 A 0 50 若 A 0 则称A为奇异矩阵 退化矩阵 若 A 0 则称A为非奇异矩阵 非退化矩阵 A 0 2020 4 3 51 推论 证明 52 方阵A的逆矩阵的求法 53 例如 54 例 55 例 56 57 可逆矩阵的运算规律 58 注 59 60 例 61 解 62 63 于是 64 例 解方程 65 解 方程两端左乘矩阵 66 方程两端右乘矩阵 67 例 设 解方程 解 68 69 例 所以A可逆 且 证 70 所以可逆 71 例 设Ax b A是n阶可逆阵 72 4矩阵的分块法 矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段 具体做法是 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的一个子块 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵 73 例 74 75 分块矩阵的运算规则 76 77 78 79 80 81 82 一 分块对角矩阵的行列式具有下述性质 83 三 84 例 设 85 解 86 则 87 又 88 于是 89 例 设 解 90 91 1 加法 2 数乘 3 乘法 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 92 93
