线性代数 第一章、矩阵

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1、1 矩阵是线性代数的一个最基本的概念 是线性代数的研究对象和重要工具 许多理论问题和实际问题都可以用矩阵表示并且可以运用有关理论得到解决 例如 学生各科考试成绩 企业销售产品的数量和单价 超市物品配送路径等 本章就是讨论最简单的由数形成的矩形数表 矩阵及其运算 1 1矩阵的概念1 2矩阵的运算1 3可逆矩阵1 4矩阵的初等变换和初等方阵 第一章矩阵 2 1矩阵的概念 背景 数的发展 自然数整数有理数实数复数对于这些数一般用集合的观点讨论 通常只是研究它们的一些运算法则和运算规律 例如加 减 乘 除等 3 下面引入一个一般的概念 如求方程的根 此方程不仅在有理数范围内无解 就是在实数范围内也无解

2、 只在复数范围内有解 为了在以后的讨论中能把具有共同运算性质的数集统一处理 在研究某些问题时 常常和所研究对象的取值范围有关 4 设F是复数集C的一个子集合 如果F满足下列两个条件 1 0和1都在F中 2 F中任意两个数 可以相等 的和 差 积 商 除数不为零 仍然在该集合中 定义1 1 例如 有理数集 实数集 复数集都构成数域 但整数集不构成数域 5 定义1 2 例如 整数集对加法运算封闭 但对除法运算不封闭 因此 要证明一个数集是否构成数域只要能证明该数集中含有数0和1 并且对加 减 乘 除四种运算都封闭即可 6 注意 1 本书中涉及到的数都是指某个数域中的数 2 若没有特别说明涉及到的数

3、域一般是指实数域 7 引例 例1设某种物资 如煤炭等 有个产地 个销地 如果以aij表示由第i个产地销往第j个销地的数量 表示由第个产地销往第个销地的数量 则这类物资的调运方案 可用一个数表表示如下 8 由m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 按一定次序排成m行n列的矩形数表 称为一个m行n列的矩阵 简记为 aij m n一般用大写字母A B 表示 m行n列的矩阵A也记为Am n 构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素 而aij表示矩阵第i行 第j列的元素 定义1 3 9 1 如果矩阵A的元素aij全为实 复 数 就称A为实 复 矩阵 一般的 仅讨论实矩阵 2 如果矩阵的行数等于列数

4、则称矩阵为阶矩阵或阶方阵 记做 实际上 一阶矩阵就是一个数 3 若两个矩阵行数和列数分别相等 则称这两个矩阵是同型矩阵 否则称为非同型矩阵 4 若两个矩阵不但是同型矩阵 而且对应的元素也相等 则称这两个矩阵相等 注意 10 矩阵应用举例 例1 把下图中四个城市之间的航线用矩阵表示出来 解 设 则得到邻接矩阵 11 例2 把下列成绩统计表用矩阵表示出来 解 用矩阵表示为 12 列矩阵 只有一列的矩阵 零矩阵 元素都是零的矩阵记作O 几种比较特殊的矩阵 行矩阵 只有一行的矩阵 13 上 下三角矩阵统称为三角矩阵 14 对角矩阵 方阵并且除主对角线上的元素外其余元素全为零 例如 是一个三阶对角矩阵

5、15 数量矩阵 对角矩阵中当时 例如 就是一个数量矩阵 也就是说 数量矩阵是对角矩阵的一种特例 16 特点 从左上角到右下角的直线 主对角线 上的元素都是1 其他元素都是0 即 17 如果变量y1 y2 ym可由变量x1 x2 xn线性表示 称为由变量x1 x2 xn到变量y1 y2 ym的变换为线性变换 线性变换由个元函数组成 每个函数都是变量的一次幂 故而称之为线性变换 线性变换 定义1 4 即 18 称为线性变换的系数矩阵 其中 由系数构成的矩阵 可以看出给定一个矩阵必定对应于一个线性变换 如 单位矩阵 对应的线性变换为 称为恒等变换 19 再如 线性变换 对应n阶系数矩阵为 是一个对角

6、矩阵 也就是说 线性变换和系数矩阵是一一对应的 20 2矩阵的运算 一 矩阵的加法 定义2 1设有两个m n矩阵A aij B bij 那么A与B的和记为C A B 规定为 背景 矩阵之所以有用 不在于把一组数能排成矩形数表 而在于能进行有实际意义的运算 21 特别的 注意 只有当两个矩阵同型时 才能进行加法运算 其运算法则就是把它们的对应元素相加 22 类似的 也可以定义矩阵的减法 例 计算下列两个矩阵的和与差 解 23 二 数与矩阵相乘 简称为数乘 定义2 2数 与矩阵A的乘积记作 A 规定为 数与矩阵相乘满足运算规律 24 例2 解 说明 矩阵的加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算 2

7、5 三 矩阵与矩阵相乘 矩阵的乘法 引例设变量到变量的线性变换为变量到变量的线性变换为那么 变量到变量的线性变换应为 26 即 上述运算也称为两个线性变换的乘积 根据线性变换与矩阵的关系 也可以理解为 27 按上述方法定义的矩阵乘法有实际意义 由此推广得到一般的定义 28 29 特例 行矩阵与列矩阵相乘 其结果就是一个数 思考 列矩阵和行矩阵相乘的结果是什么 例3 解 30 注意 只有当前面的矩阵 左矩阵 的列数与后面的矩阵 右矩阵 的行数相等时 两个矩阵才能相乘 乘积矩阵C AB的行数为A的行数 列数为B的列数 31 例4 线性变换的矩阵表示 设线性变换 32 例5 线性方程组的矩阵表示 其

8、中设 称为线性方程组的系数矩阵 33 则方程组可以表示为 若令 简记为 AX B 34 例6 求 AB和BA 解 思考 由本例的计算你能得到什么结论 35 一般地 矩阵乘法不满足交换律 即 1 如果 则有意义 当时 无意义 2 即使 则是m阶方阵 而是n阶方阵 3 如果 都是n阶方阵 如 注意 36 例7设 则 特别的 当AB BA时 则称A与B可交换 由例7可知两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 同样不满足交换律 37 则 例8设 由例8可知矩阵乘法一般不满足消去律 38 数的运算与矩阵运算的比较 在数的乘法中 若ab 0 a 0或b 0 两个非零矩阵乘积可能为O 在数的乘法中 若ac ad 且

9、a 0 c d 消去律成立 消去律不成立 39 矩阵的乘法满足如下的运算律 对于单位矩阵 有 单位矩阵与任何矩阵可交换 简记为 40 例10 利用矩阵的运算计算第一节例2中4个学生每人的总成绩和各学科平均成绩 解 每人的总成绩的矩阵表示式 各学科平均成绩的矩阵表示式 41 设k l为正整数 判断下列各式是否正确 矩阵乘法中的特例 方阵的幂 思考 1 两个对角矩阵的乘积如何计算 2 对角矩阵的幂如何计算 3 单位矩阵的幂又如何 42 例1 用矩阵表示课本第2页图1 1中 从第i个城市经过一次中转到第j个城市的单向航线 解 由于四个城市之间的单向航线可用下列矩阵表示 利用矩阵的乘法可知 下列矩阵即

10、为所求 43 思考 上述问题中若要表示从第i个城市能直接或经一次中转到第j个城市的单向航线 该用什么样的矩阵 答案 44 思考题 1 判断 设A E都是n阶方阵 则2 求所有与矩阵A可交换的矩阵 其中3 设A B都是n阶方阵 A B 2展开式如何 45 练习题 2 求 46 四 矩阵的转置 满足运算律 定义把矩阵A的行换成同序数的列 得到的新矩阵称为A的转置矩阵 记作或 行列互换 47 有 所以 证明 4 48 1 若方阵A满足AT A 即aji aij 则称A为对称矩阵 2 若方阵A满足AT A 即aji aij 则称A为反对称矩阵 这时aii 0 i 1 2 n 对称矩阵的特点是 它的元素

11、以主对角线为对称轴对应相等 反对称矩阵的特点是 以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等 符号相反 且主对角线上各元素均为0 49 解法一 50 解法二 AB T BTAT 51 例9设列矩阵满足 证明 52 思考题 证明 任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和 证明 所以C为对称矩阵 所以B为反对称矩阵 53 练习题证明 若A为 实 对称矩阵 且 54 定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每个小矩阵称为A的子块 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵 列举三种分块形式 五 矩阵的分块 对行数和列数较高的矩阵经常采用分块法来简化计算 尽量分出一些单位矩阵和零矩阵 55 56 按列分块 按行

12、分块 两种特殊的分块方式 57 分块矩阵的运算法则 1 矩阵A与B为同型矩阵 采用同样的分块法 有 注 也是同型矩阵 当然 对加法而言 分块法意义不大 58 2 数乘 设 是数 则 59 3 A为m l矩阵 B为l n矩阵 将A B分成 其中Ai1 Ai2 Ait的列数分别等于B1j B2j Btj的行数 则有 60 注 矩阵的分块乘法能够进行 则应有前一 左 矩阵的列数 后一 右 矩阵的行数 前一矩阵的列块数 后一矩阵的行块数 前一矩阵的每一个列块的列数 后一矩阵的对应的行块的行数 简单的说 前一矩阵的列分法与后一矩阵的行分法一致 61 将A B分别按照行和列分块 用分块矩阵的乘法去理解矩阵

13、乘法 则 其中 62 例10 求AB 解A B分块成 63 64 怎么样就成为对角矩阵 65 例如 为准对角矩阵 66 在矩阵理论的研究中 矩阵的分块是一种最基本 最重要的计算技巧与方法 1 加法 2 数乘 3 乘法 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 4 转置 67 3可逆矩阵 方阵 背景 在矩阵的运算中没有除法 从乘法的角度看 n阶单位矩阵E在n阶方阵乘法中的地位与数1在数的乘法中的地位类似 因此可以把数中的倒数关系延拓到矩阵中 定义3 1对于n阶方阵A 如果存在一个n阶方阵B 满足AB BA E 则称方阵A可逆 且把方阵B称为A的逆矩阵 记作 显然 只有方阵才可

14、能有逆矩阵 如果B是A的逆矩阵 则A是B的逆矩阵 实际上 只需满足AB E或BA E即可 后面有证 68 例1设 性质1如果A是可逆的 则A的逆矩阵唯一 证 设B C都是A的逆矩阵 则一定有 逆矩阵的性质 B BE B AC BA C EC C 69 证明 70 证明 71 性质6设 则 72 性质7设M是一准对角矩阵 都是可逆矩阵 则M也是可逆矩阵 且 类似的 73 性质8设A B C都是n阶矩阵 且A B均可逆 则 性质9设A B D都是n阶矩阵 且A B均可逆 则 74 例2设 解 设是的逆矩阵 则 利用待定系数法 以后还有其它方法 75 又因为 所以 76 例3 77 思考 是否还有别

15、的方法 78 例4 设A B A B A 1 B 1都可逆 证明 A 1 B 1 1 B A B 1A 79 解 80 定义1 对矩阵的行施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换 1 互换两行的位置 记作ri rj 2 以不为0的数k乘以某一行 记作k ri 3 将某一行的元素乘以数k后加到另一行的对应元素上去 记作ri krj 相应地 对矩阵的列可以定义矩阵的初等列变换记号只需将r换成c即可 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换 4矩阵的初等变换和初等方阵 81 矩阵的等价关系满足的性质 1 自反性 2 对称性 3 传递性 记做 82 1 矩阵中可画出一条阶梯线 阶梯线下方元素全为零

16、 2 每个阶梯只有一行 且阶梯线的竖线后面第一个元素非零 其中 元素全部为零的行称为零行 否则称为非零行 定理 任何矩阵都可以通过单纯的初等行变换化成行阶梯形矩阵 例如 就是一个行阶梯形矩阵 83 例如 对下列矩阵施行初等行变换化为行阶梯形 目前 已经化为行阶梯形矩阵了 下面继续进行初等行变换 84 观察上述行阶梯形矩阵 满足 1 非零行的第一个非零元素都是1 2 每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素都是零 满足这两个特点的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵 可知 任何矩阵都可以通过单纯的初等行变换化成行最简形矩阵 85 定义 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算 应用非常广泛 三种初等变换对应着三种初等方阵 86 第i行 第j行 1 87 2 第i行 88 3 E i j k 89 关于初等方阵有下列结论 E i j 1 E i j E i k 1 E i 1 k E i j k 1 E i j k 注 上述结论可以利用逆矩阵的定义证明 初等方阵都是可逆矩阵 并且它们的逆矩阵仍然是初等方阵 其逆矩阵分别是 90 91 定理1 对A施行