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1、第五部分：立体几何（4）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcC.abcDabc【解析】abc.【答案】A2下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面其中不正确命题的个数是()A1B2C3 D4【解析】中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当a、b同向时，应有|a|b|ab|；中a、b所在
2、直线可能重合；中需满足xyz1，才有P、A、B、C四点共面【答案】C3已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A. B.C. D.【解析】由题意得ctab(2t，t4，3t2)，.【答案】D4已知向量a，b，c两两夹角都是60，其模都是1，则|ab2c|等于()A. B5C6 D.【解析】(ab2c)2a2b24c22ab4bc4ac114211cos60411cos60411cos6061225，|ab2c|.【答案】A5已知四边形ABCD满足：则该四边形为()A平行四边形B梯形C两组对边不平行的平面四边形D空间四边形【解析】假设ABCD
3、为平面四边形，如图，则由条件知，1，2，3，4均为锐角，从而ABC，BCD，CDA，DAB均为钝角，这不可能，四边形ABCD为空间四边形【答案】D二、填空题6正四面体ABCD中棱长为2，E、F分别为BC、AD中点，则EF的长为_【解析】由|a|b|c|2，a，bb，cc，a.c(ba)(cba)，(c2b2a22bc2ca2ab)(444444)2，即EF的长为.【答案】7已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，则的值是_【解析】设P(x，y，z)，则(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)得，.(1,1,1)(，3)(，2)，|.【答案】8(2012年平顶山联考)如图，
4、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为_【解析】以D为原点，DA、DC、DD1为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，M(1，1)，N(1,1，)，(0，1)，(1,0，)，.【答案】三、解答题9如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M在AC上，且|AM|MC|，点N在A1D上，且|A1N|2|ND|，设试用a，b，c表示.【解析】|AM|MC|，又|A1N|2|ND|，(ab)c(bc)(bca)10已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)证明AA1BD.【解析】则|a|=|b|=1，|c|=2.ab=0，ac=bc=21cos120=-1. 异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.- 7 -
